[Resolução]10.20.24

[Fernando Henrique]

Determine se a série a seguir converge ou diverge. Em caso de convergência, determine se a série é absolutamente ou condicionalmente convergente.

\(\displaystyle \sum _{n=1} ^{\infty} (-1)^n \left[ e - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \right] \).

Usando a lei de Leibniz, podemos verificar que a série é convergente, visto que:

\( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \), logo
\( e - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n > e - \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \). Como \(|a_n| \geq |a_{n+1}|\), a série é decrescente.

e visto que:

\(\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \left[ e - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \right] = 0\).

Para descobrirmos se a série é absolutamente ou condicionalmente convergente, vamos analisar a série:

\(\displaystyle \sum _{n=1} ^{\infty} \left|(-1)^n \left[ e - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \right] \right| = \displaystyle \sum _{n=1} ^{\infty} \left[ e - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \right] \)

Usando o teste da comparação do limite, tendo como termo de uma série secundária \(b_n = \frac{1}{n}\):

\(\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}{\frac{1}{n}} = \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e - \left(1 + x \right)^{\frac{1}{x}}}{x}\)

Lembrando de \(a ^b = e^{a\ln{b}}\):

\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e - \left(1 + x \right)^{\frac{1}{x}}}{x} = \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e - e^{\frac{1}{x}\ln{(1+x)}}}{x}\)

Derivando numerador e denominador do limite

\( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e - e^{\frac{1}{x}\ln{(1+x)}}}{x} =
\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\frac{- e^{\frac{1}{x}\ln{(1+x)}} \left( - \frac{\ln{(1+x)}}{x^2} + \frac{1}{x(1+x)}\right)}{1} =
\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}- (1+x)^{\frac{1}{x}} \left( - \frac{\ln{(1+x)}}{x^2} + \frac{1}{x(1+x)}\right)
\)

\(
= \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}- (1+x)^{\frac{1}{x}} \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \left( - \frac{\ln{(1+x)}}{x^2} + \frac{1}{x(1+x)}\right)
\)

\(
= e \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \left( - \frac{\frac{x}{x+1} - \ln{(x+1)} }{x^2}\right)
= e \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \left( - \frac{\frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{x+1}}{2x} \right)
= e \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \left( - \frac{-x}{2x(x+1)^2} \right) = e \frac{1}{2}
\)

Sendo assim, o limite do termo geral da série \(\displaystyle \sum _{n=1} ^{\infty} \left|(-1)^n \left[ e - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \right] \right| \) é \(\frac {e}{2} > 1\), sendo assim a série é condicionalmente convergente.