Considere a sequência convergente \({a_n}\) com termos definidos por:
\(a_n = \frac{n}{n+1}\)
Sendo \(L=\lim_{n \to \infty}{a_n}\). Encontre os valores de \(L\) e os valores de \(N\) tais que \(|a_n - L| < \varepsilon\) for all \(n \geq N\) para cada um dos seguintes valores de \(\varepsilon\):
a. \(\varepsilon = 1\)
b. \(\varepsilon = 0.1\)
c. \(\varepsilon = 0.01\)
d. \(\varepsilon = 0.001\)
e. \(\varepsilon = 0.0001\)
Resposta
Calculando o limite da sequência pela regra de L'Hôpital nós temos que
\(\lim_{n \to \infty}{\frac{n}{n+1}} = \lim_{n \to \infty}{\frac{1}{1}} = L = 1\)
Logo, como temos o valor de \(L\), podemos ver que
\(|a_n - L| < \varepsilon \Longrightarrow |\frac{n}{n+1} - 1| < \varepsilon\)
\(|a_n - L| < \varepsilon \Longrightarrow |\frac{n-n-1}{n+1}| < \varepsilon\)
\(|a_n - L| < \varepsilon \Longrightarrow |\frac{1}{n+1}| < \varepsilon\)
\(|a_n - L| < \varepsilon \Longrightarrow \frac{1}{\varepsilon} < n+1\)
Logo, se \(N > \frac{1}{\varepsilon}\) então para todo \(n \geq N\) nós temos \(|a_n| < \varepsilon\). Logo os valores de \(N\) para cada \(\varepsilon\) definidos são:
a. \(\varepsilon = 1\) implica \(N = \frac{1}{1} = 1\)
b. \(\varepsilon = 0.1\) implica \(N = \frac{1}{0.1} = 10\)
c. \(\varepsilon = 0.01\) implica \(N = \frac{1}{0.01} = 100\)
d. \(\varepsilon = 0.001\) implica \(N = \frac{1}{0.001} = 1000\)
e. \(\varepsilon = 0.0001\) implica \(N = \frac{1}{0.0001} = 10000\)