Enunciado:
Utilizando (10.26) provar que
\(1 + 0 + x^2 + 0 + x^4 + ... = \frac{1}{1-x^2} \, \, \,\) se |x|<1
(10.26) \( \, \, 1 + x^2 + x^4 + ... + x^{2n} + ... = \frac{1}{1-x^2}, \, \, \,\) se |x|<1
Solução:
Podemos observar que a série (10.26) é uma série geométrica com razão \(x^2\), podemos representá-la por \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^{2n}\).
Tomamos \(a_n = \{0, 0, 0, ...\}\), de modo que \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n = 0\).
Podemos escrever, então,
\(1 + 0 + x^2 + 0 + x^4 + ... = \sum\limits_{n=0}^{\infty} x^{2n} + a_n \)
Como \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^{2n}\) e \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \) são séries infinitas e convergentes, então, pelo teorema (10.2) temos que
\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^{2n} + a_n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} x^{2n} + \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n = \frac{1}{1-x^2} + 0 = \frac{1}{1-x^2}, \, \, \,\) se |x|<1,
como queríamos demonstrar.