Enunciado:
\(f(n)=\frac{log_{a}{n}}{n}, a > 1\)
Resolução:
Tem-se como objetivo primeiramente definir se a sucessão segundo a função assima converge ou diverge, e segundamente qual é o limite caso seja convergente.
Para determinar se a sequência é convergente, basta obter se o valor do limite existe e tem valor:
\(\lim_{n \to \infty} f(n) = L\)
Como não é possível simplesmente substituir o valor de n por infinito, nem remover totalmente a variável da expressão para resolver o limite, a expressão final resultaria em valores tendendo ao infinito no nominador e denominador.
Para este caso em específico, é possível aplicar a regra de L'Hopital, que diz que:
Se \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\)
Então \(\lim_{x \to \infty} \)\(\frac{f(x)}{g(x)}\) \(= \lim_{x \to \infty}\)\(\frac{f'(x)}{g'(x)}\) (se \( g'(x) \neq 0\))
Temos que é possível substituir a equação da sequência na regra de L'Hopital, pois a função no domínio dos reais converge para um determinado valor, portanto a sequência também irá convergir se a regra de L'Hopital encontrar um valor para o limite.
Calculando os valores de \(f'(x)\) e \(g'(x)\), temos:
\(f'(x) = \)\(\frac{1}{x\ln{a}}\) e \(g'(x) = 1\), portanto
\(\lim_{x \to \infty}\)\(\frac{f'(x)}{g'(x)}\)\(= \lim_{x \to \infty}\)\(\frac{1}{x} \cdot\frac{1}{\ln{a}}\)\(=0\)
Concluímos então que a sequência converge para o valor 0.