Enunciado:
\(f(n)=(1+\frac{2}{n})^n\)
Resolução:
\(f(n)\) é crescente e limitada.
Para valores crescentes de \(n\), ainda que a minha base \((1+\frac{2}{n})\) decresça, tenho um aumento do expoente.
Note também que, para \(n\to \infty\),\((1+\frac{2}{n})\) tende a 1, por valores superiores.
Assumindo estes fatos, é possível afirmar que minha função é convergente. Mas e que valor então teria \(L\)?
É sabido que essa sequência se assemelha muito à um dos limites fundamentais, que é \(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e\). Partindo disso, teremos que:
\(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{2}{n})^n=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n/2})^n=\lim_{m\to\infty}(1+\frac{1}{m})^{2m}=\lim_{m\to\infty}[(1+\frac{1}{m})^m]^2\)
\(\lim_{n\to\infty}f(n)=\lim_{m\to\infty}[(1+\frac{1}{m})^m]^2 = e^2\)
Logo, \(f(n)\) é convergente e \(\lim_{n\to\infty}f(n)=e^2\).