Tire uma dúvida, deixe uma dúvida

Comentários adicionais: A família de forcings de Jech, parametrizada pelo cardinal \(\kappa\) como no exercício acima, tem a propriedade interessante de produzir árvores de Suslin em suas extensões genéricas. Nos próximos parágrafos, vamos mostrar como isso é feito. Para tanto, primeiro é necessári...

Resolução: Vamos primeiro mostrar que a ordem \(\mathbb{P}\) é \(\kappa-\)Baire, no sentido de que a intersecção de menos que \(\kappa\) abertos densos em \(\mathbb{P}\) é ainda densa em \(\mathbb{P}\). Para tanto, seja \(\{D_{\alpha}\}_{\alpha < \lambda}\) uma família de \(\lambda\) abertos densos...

Boa tarde, pessoal! Para a reta final do curso, escolhi entregar um exercício a respeito do forcing de Jech. Para enunciá-lo, fixamos um cardinal regular não enumerável \(\kappa\). Lembramos que, com a ordem dada pela extensão, \(^{<\kappa}2\) denota a árvore de sequências binárias com ordem tipo \(...

Boa noite, pessoal! Na apostila, o Exercício 3.4.12 tem o seguinte enunciado: Sejam \(\tau\) um nome e \(x\) um conjunto. Se \([\tau \in \check{x}] \neq 0\), mostre que existe \(y\in x\) tal que \([\tau \in \check{x}] \leq [\check{y} = \tau].\) Utilizando as definições dos nomes check , sai com bast...

Boa tarde, Leandro! Eu acho que consigo generalizar aquela ideia, contornando o uso das funções (mas ainda assim usando a hipótese da limitação dos tipos de ordem). Fiz isso usando o seguinte resultado auxiliar: Lema: Fixe \(n < \omega\) e \(\alpha\) um ordinal qualquer. Dada uma coloração \(c: \alp...

Boa tarde, Leandro! Fiz um rascunho para mostrar que não existem anticadeias não enumeráveis com segundas coordenadas unitárias. Ele está disponível aqui: https://drive.google.com/file/d/1TZ_YDdKOWpxtl9cRvDDejYKYGN85uX94/view?usp=sharing . Agora me parece que estou usando a hipótese sobre o limitant...

Resolução: Essa resolução é definitiva, e foi obtida após as discussões feitas através das outras mensagens deste fórum. Suponha inicialmente que \(\mathcal{F}\) é enumerável. Então, como os elementos dessa família são enumeráveis, \(\bigcup \mathcal{F}\) é enumerável, existindo \(\eta < \omega_1\)...

Bom dia, pessoal! O exercício que escolhi entregar para a disciplina é o III.3.97, que tem o seguinte enunciado: Suponha \(\mathrm{MA}(\kappa)\). Fixe \(\tau < \omega_1\) e seja \(\mathcal{F}\subset [\omega_1]^{\aleph_0}\) uma família de tamanho no máximo \(\kappa\) cujos elementos têm ordem \(<\tau...

Boa tarde, pessoal! Um dos exercícios da apostila é demonstrar a Proposição 2.3.5. Seguindo esse enunciado, a minha ideia para verificar o item a) é provar que \(M\cap \omega_1\) é um ordinal enumerável. Sei ele é enumerável porque \(M\) é enumerável, assim como é bem ordenado por \(\in\) porque \(\...