Tire uma dúvida, deixe uma dúvida

Prove que e^{-x^2} é representado pela seguinte série de potência: $$ e^{-x^2} = \sum^\infty_{n=0}\frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} $$ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- De exercícios anteriores, sabemos que: $$ e^{x} = \sum^\infty_{n=0...

Teste a convergência ou divergência da seguinte série: $$ \sum_{n=1}^\infty ne^{-n^2}$$ Sabemos que: $$ \sum_{n=1}^\infty ne^{-n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{e^{n^2}} $$ E também que: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{e^{n^2}} \le \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} $$ Como a série \sum_{n=1}^\infty \frac...

Prove que: $$ x + x^3 + x^5 ... = \frac{x}{1-x^2} $$ Utilizando o resultado do item anterior: $$ 1 + 0 + x^2 + 0 + x^4 .... = \frac{1}{1 - x^2} $$ E que: $$ 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 .... = \frac{1}{1 - x} $$ Subtraindo um pro outro, temos: $$ (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 ....) - (1 + 0 + x^2 + 0 + x^4 .....