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Consider the series \sum_{n=1}^{\infty} log(n sin\frac{1}{n}) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, determine whether it converges conditionally or absolutely. Resolução: Para n inteiro e positivo, sabe-se que n sin\frac{1}{n} < 1 \sum_{n=1}^{\infty} |log(n sin\frac{1}...

For each positive integer n and and all real x define f_n(x) = \frac{sin(nx)}{n}, f(x) = \lim_{n\rightarrow \infty} f_n(x) Prove that \lim_{n\rightarrow \infty} f'_n(0) \neq f'(0) Resolução: f'_n(x) = cos(nx) , ou seja, f'_n(0) = 1 , portanto \lim_{n\rightarrow \infty}f'_n(0) = 1 Além disso, \lim_{n...

Obtain the following formula without attempting to justify the steps used in the process. \sum_{1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{2n-1} = \frac{1}{2}\log{(\frac{1+x}{1-x})} Resolução: A partir da fórumula de séries geométricas, substituindo x por x^2 temos que: \sum_{0}^{\infty} x^{2n} = \frac{1}{1-x^2} p...