https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/ 2026-04-08T20:06:31+00:00 https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/ https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/lib/tpl/dokuwiki/images/favicon.ico text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:2wnaorothberger&rev=1604689510&do=diff Seja $V_n^k$ como no item anterior. Note que, para qualquer $n \in \omega$, $V_n^0 \cup V_n^1 = \{(x_i)_{i\in\omega} \in 2^\omega : x_n=0$ ou $x_n=1\} = 2^\omega$, ou seja, $\{V_n^0, V_n^1\}$ é cobertura de $2^\omega$. Note ainda que se $k,k' \in \{0,1\}$, $m,n \in \omega$ e $m \neq n$, então $V_m^k \cup V_n^{k'} = \{(x_i)_{i\in\omega} \in 2^\omega : x_m=k$ ou $x_n=k'\}$ não é cobertura. De fato, $(x_i)_{i\in\omega}$ tal que $x_m \neq k$ e $x_n \neq k'$ não está em $V_m^k \cup V_n^{k'}$. Este ar… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:3seq&rev=1604689510&do=diff Seja $a_0 \in X$. Seja $c_0 > a_0$, que existe pois $X$ não possui máximo. Pela densidade da ordem, existe $b_0 \in X$ tal que $b_0 \in ]a_0,c_0[$, portanto $a_0 < b_0 < c_0$. Suponha definidos $a_{\eta}, b_{\eta}, c_{\eta}$ para todo $\eta < \xi$. O conjunto $B = \{b_\eta: \eta < \xi\}$ é enumerável. Pela não separabilidade de $X$, existe $A \subset X$ aberto não vazio disjunto de $B$. Note que então existe um intervalo contido em $A$$a_\xi$$c_\xi$$]a_\xi, c_\xi[ \cap \{b_\eta: \eta < \xi\} = … text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:a_n-enumeravel&rev=1604689510&do=diff Considere para cada $n \in \omega$ $ \varphi_n : A_ n \times A \to A_n \cup A_{n+1}$ sobrejetora dada pelo exercício anterior. Tome $ n = 1 $, então $ \varphi_1 : A_ 1 \times A \to A_1 \cup A_{2}$ é sobrejetora. Note que $A_ 1 = \{ \{a_n\} : a_n \in A, n \in \omega \}$ é enumerável, logo $A_1 \times A$ é enumerável. Como $\varphi_1$ é sobrejetora $A_1 \cup A_2$ é enumerável, como $A_2 \subset A_1 \cup A_2$ então $A_2$ é enumerável. Por indução, vamos mostrar que se $A_k$$A_{k+1}$$A_k$$A$$A_k \… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:abertinfinito&rev=1604689510&do=diff Se $A \in \tau$ e $a \in A$, então existe $b \in \mathbb{N}_{>0}$ tal que $\{a + bz: z \in \mathbb{Z}\} \subset A$. Note que $\{a + bz: z \in \mathbb{Z}\}$ é infinito, portanto $A$ também é. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:abertodosprimos&rev=1604689510&do=diff De fato, se $z \in \mathbb{Z} \setminus \{-1, 1\}$, então $z = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldotsp_n^{\alpha_n}$, onde cada $p_i$ é primo e $\alpha_i \in \mathbb{N}$. Logo, $z \in S(0,p_1)$. Portanto $\mathbb{Z} \setminus \{-1,1\} \subset \bigcup_{p \text{ é primo}}S(0,p)$. Note que $\bigcup S(0,p) \subset \mathbb{Z} \setminus \{-1, 1\}$. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:abertoefechado&rev=1604689510&do=diff Seja $a + bz \in S(a,b)$. Note que $\{(a + bz) + bz: z \in \mathbb{Z}\} = \{a + 2bz: z \in \mathbb{Z}\} \subset S(a,b)$, portanto $S(a,b) \in \tau$. Para mostrarmos que $S(a,b)$ é fechado, tome $c \in \mathbb{Z}$ tal que $c \neq a + bz$ $\forall z \in \mathbb{Z}$. Daí temos que $\{c + bz: z \in \mathbb{Z}\} \subset \mathbb{Z} \setminus S(a,b)$, pois caso contrário teríamos $c + bz_1 \in S(a,b)$, o que nos daria $c = a + b(z_2 - z_1)$, contrariando a definição de $c$. Portanto $\mathbb{Z} \se… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:acartesianob&rev=1604689510&do=diff Sabemos que $\omega \times \omega$ é enumerável. Como $A$ e $B$ são enumeráveis, podemos escrever $A = \{a_n: n \in \omega\}$ e $B = \{b_i: i \in \omega\}$. Considere a função $ f: \omega \times \omega \to A \times B$ dada por $f(n,i) = (a_n, b_i)$. Assim $f$ será sobrejetora, portanto $A \times B$ será enumerável(vide exercício anterior). text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:admitesupremo&rev=1604689510&do=diff Sejam $X$ um conjunto bem ordenado e $S \subset X$ um subconjunto limitado superiormente. Considere então $ A \subset X$ o subconjunto das cotas superiores de $S$. Como X é bem ordenado existe $a \in A$ tal que $ a \leq b$ $\forall b \in A$ e $a$ é o supremo de A. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:amaisbbooleano&rev=1604689510&do=diff $\Rightarrow$) Note que $a+b = ab + b = b(a+1)$. Mas sabemos que $a+1 = 1$, portanto $b(a+1) = b.1 = b$. $\Leftarrow$) Como $a+b = b$ e, pelo axioma 4, $a(a+b) = a$, então segue que $ab = a$. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:amenorgama&rev=1604689510&do=diff Talvez você queira consultar alguns resultados da lista sobre enumerabilidade. Seja $A=\{a_n:n\in \omega\}$ um conjunto enumerável de modo que $A \subset \omega_1$. Podemos então, para cada $a_n$, formar o conjunto $B_n =\{\beta \in \omega_1 : \beta < a_n\}$ enumerável. Suponha então que para todo $\gamma \in \omega_1$ existe $a_n \in A$ tal que $\gamma < a_n$. Deste modo podemos afirmar que $\bigcup_{n \in \omega}B_n = \omega_1$, um absurdo, pois $ \omega_1$ text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:apaxma&rev=1604689510&do=diff Seja $\alpha \in \lambda$ qualquer, se $(s, F) \in \mathcal G \cap D_\alpha$, vamos ver que $\{n \in \omega: f_\alpha(n) > f(n)\} \subset dom(s)$. Dado $m \in \{n \in \omega: f_\alpha(n) > f(n)\}$ arbitrário. Temos que $f_\alpha(m) > f(m)$. Ademais, $(m,f(m))\in f$, logo existe $(t,H)\in \mathcal G$ tal que $(m,f(m))\in t$. Também $(s, F) \in \mathcal G$. Como $\mathcal G$ é filtro, existe $(r,E)\in \mathcal G$ tal que $(r,E)\leq (t,H)$ e $(r,E)\leq (s,F)$. Daqui, $$r \supset s, E \supset F, \… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:axiemptyset&rev=1604689510&do=diff Tome um conjunto finito $F_\xi = \{a_1,\ldots,a_n\}$ qualquer. De acordo com o exercício anterior, para cada $a_i \in F_\xi$ existe $\gamma_i$ tal que para todo $\eta \geq \gamma_i$ temos que $a_i \notin F_\eta$. Defina $A = \{\gamma_1,\ldots,\gamma_n\}$ e tome $max(A) = \gamma$. Concluímos que para todo $\eta \geq \gamma$ temos $F_\xi \cap F_\eta = \emptyset$. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:bairecompacto&rev=1604689510&do=diff Sejam $X$ espaço compacto de Hausdorff e $(A_n)_{n\in \omega}$ família de abertos densos. Tome $V\subset X$ aberto não vazio, então existe $B_1\subset V\cap A_1$ aberto não vazio com $\overline{B_1}\subset V\cap A_1$. Da mesma forma, $B_1\cap A_2$ é aberto, portanto tomamos $B_2\subset B_1\cap A_2$ com $\overline{B_2}\subset B_1\cap A_2$. Podemos construir de forma análoga $\{B_3, B_4, B_5,\ldots\}$. Como $X$ é compacto, a família centrada de fechados $\{\overline{B_1}, \overline{B_2},\ldots\… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:baseenumregular&rev=1604689510&do=diff Primeiramente vamos mostrar que $F \subset V$ e que $G \subset W$. Tome $x \in F$. Sabemos, por 10.3, que $x \in V_k$ pra algum $V_k \in \mathcal V$. Então só nos resta mostrar que $x \notin \bigcup_{n \leq k} \overline {W_n}$. Suponha que $x \in \bigcup_{n \leq k} \overline {W_n}$, então $x \in \overline {W_n}$ pra algum $n \leq k$. Mas note que $W_n = B$ onde $B \in \mathcal B$ e $\overline B \cap F = \emptyset$. Absurdo, então $F \subset V$. Analogamente provamos que $G \subset W$. Agora v… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:baseproj&rev=1604689510&do=diff Seja $W \subset X \times Y$ um aberto qualquer e tome $(a,b) \in W$. Como $W$ é aberto, então existem $A \in \tau$ e $B \in \rho$ tais que $a \in A$, $b \in B$ e $(a,b) \in A \times B \subset W$. Mas note que $A \times B = \pi^{-1}_X[A] \cap \pi^{-1}_Y[B]$. Prova: Vamos mostrar que $A \times B \subset \pi_X^{-1}[A] \cap \pi_Y^{-1}[B]$ . Tome $(x,y) \in A \times B$, logo, $x \in A \subset X$ e $y \in B \subset Y$. Como $A \times Y = \pi^{-1}_X[A]$, então temos que $(x,y) \in \pi^{-1}_X[A]$. E com… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:bases.4&rev=1604689510&do=diff Em primeiro lugar considere o conjunto $\mathcal K = \{(B, B') \in \mathcal B^2: B \subset B'\}$ e para cada elemento de $(B,B') \in \mathcal K$ associe, caso exista, um $C_{(B,B')} \in \mathcal C$ tal que $B' \subset C \subset B$, caso contrário associe $\emptyset$. Afirmamos que $\mathcal C' = \{C_{(B, B')}: (B, B') \in \mathcal K\}$ é uma base enumerável. Tome um aberto $A$ qualquer e $x \in A$, como $\mathcal B$ é base, existe $B \in \mathcal B$ com $B \subset A$ e $x \in B$. Da mesma forma… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:bases_baselocal&rev=1604689510&do=diff Seja $(X, \tau) $ espaço topológico. Por definição $x \in B$ para todo $B \in \mathcal{B_x}$. Tome $A \in \tau$ tal que $x \in A$, como $\mathcal{B}$ é base então existe $B' \in \mathcal{B}$ de modo que $x \in B' \subset A$, mas então $B' \in \mathcal{B_x} $. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:basesexerc2&rev=1604689510&do=diff $(X,\tau)$ é um espaço topológico e $\mathcal{B} \subset \tau$. $(\Longrightarrow)$ Seja $A \in \tau$, então $\exists B_x \in \mathcal{B} $ para cada $x \in A$ tal que $x \in B_x \subset A$. Logo $A = \bigcup_{x \in A}B_x$. Note que $\mathcal{B'} = \{ B_x : x \in B_x \subset A \land B_x \in \mathcal{B} \} \subset \mathcal{B}$ $(\Longleftarrow)$ Temos que mostrar que para qualquer $x \in A \in \tau$, $\exists B \in B $ tal que $x \in B \subset A$. Sejam $x \in X$ e $A \in \tau$ tais que $x \… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:basesexerc8&rev=1604689510&do=diff $(X, \tau)$ um espaço topológico. Seja $ A \in \tau$, considere $x \in A$ qualquer, então existe $B \subset A$ aberto tal que $x \in B $ uma vez que $\mathcal{B_x} $ é uma base local para $x$. Note que $\mathcal{B_x} \subset \mathcal{B} = \bigcup_{x \in X} \mathcal{B_x}$, ou seja $B \in \mathcal{B}$. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:bernschroeder&rev=1604689510&do=diff Seja $A' := \{(0, a) : a \in A\}$ e $B' := \{(1,b) : b \in B\}$. Note que $A'$ e $B'$ são disjuntos. Por hipótese, temos que existem $f: A \to B$ injetora e $g: B \to A$ injetora. Vamos mostrar que existem $\varphi: A \to A'$ e $\psi: B \to B'$ bijetoras. Defina $\varphi(a) = (0, a)$ e $\psi(b) = (1, b)$, então dados $(0, a) \in A'$ e $(1, b) \in B'$ existe $a \in A$ e $b \in B$ tal que $\varphi(a) = (0, a)$ e $\psi(b) = (1, b)$ pela própria construção de $A'$ e $B'$, então $\varphi$ e $\psi$ … text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:bigcupehfuncao&rev=1604689510&do=diff Sejam $(a,b_1)$ e $(a,b_2) \in \varphi$. Vamos mostrar que $b_1 = b_2$. Sabemos que existem $f, g \in F$ tais que $(a,b_1) \in f$ e $(a,b_2) \in g$. Como $F$ é filtro, existe $h \supset f,g$, com $h \in F$. Portanto $(a,b_1), (a,b_2) \in h$, e como $h$ é função, segue que $b_1 = b_2$. Seja $(a,b) \in \varphi$. Existe $f \in F$ tal que $(a,b) \in f$, portanto $a \in$ dom($f) \subset \omega$ e $b \in$ im($f) \subset \omega$. Ou seja, $\varphi$ é uma função de $\omega$ em $\omega$. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:bijpartesomega&rev=1604689510&do=diff Considere $\varphi: 2^\omega \rightarrow \wp(\omega)$ dada por: $\varphi(f) = f^{-1}[\{1\}]$. Dessa forma, para qualquer elemento $A=\{ x_1, x_2,\ldots\}$ de $\wp(\omega)$, teremos uma função $f \in 2^\omega$ correspondente tal que $f[A]=1$ e $f[\omega \smallsetminus A]=0$. Portanto, $\varphi$ é sobrejetora. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:bmimplicabaire&rev=1604689510&do=diff Suponha que \(X\) não é Baire. Então existe \(\mathcal F = \{D_0, D_1,\ldots\}\) uma família enumerável de abertos densos tal que existe \(U \in \tau\) não vazio satisfazendo \((\bigcap \mathcal F) \cap U = \emptyset\). Ora, então II não vence o jogo pois basta que I, na rodada \(0\), escolha \(U\). Nas rodadas seguintes, então, I escolhe \(U_n = V_{n-1} \cap (\bigcap\limits_{i =0}^{n} D_i)\), note que esta é uma jogada válida, pois intersecção finita de abertos densos é sempre um aberto denso\(… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:boaordemsequencia&rev=1604689510&do=diff $1) \Rightarrow 2)$: Temos que $X$ é um conjunto bem ordenado. Suponha que exista uma sequência $(x_n)_{n \in \omega}$ de elementos de $X$ onde $x_n>x_{n+1}$, e defina $A\subset X$ como sendo o conjunto formado pelos elementos dela. Como a sequência é infinita e estritamente decrescente, segue que $A$ não possui um menor elemento, o que contradiz a boa ordem de X. Portanto não existe uma sequência infinita estritamente decrescente de elementos de $X$$2) \Rightarrow 1)$$A\subset X$$A$$A$$x_0 \in … text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:boatotal&rev=1604689510&do=diff Tome dois elementos quaisquer $a$ e $b$ e o conjunto $X$ formado por ambos. Pela definição de boa ordem sabemos que $a \leq b$ ou $b \leq a$, ou seja, são comparáveis. Concluímos então que toda boa ordem é total. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:booleequivalencias&rev=1604689510&do=diff 1 $\Rightarrow$ 2: Seja $F$ ultrafiltro e $a \in A$. Suponha que $a \notin F$. Temos então que $b \nleq a$ para todo $b \in F$, o que é equivalente a $b-a \neq 0$ para todo $b \in F$. Considere agora o conjunto $E = F \cup \{-a\}$. Do fato anterior, temos que $E$ é centrado. Daí obtemos o filtro $F'$ gerado por $E$. Note que $F \subset F'$. Como $F$ é ultrafiltro, temos então que $F = F'$$-a \in F$$\Rightarrow$$a+b \in F$$a \notin F$$-a \in F$$(-a) \cdot (a+b) = (-a) \cdot a + (-a) \cdot b = b… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:caminhopro7&rev=1604689510&do=diff Vamos supor que não, então para todo $x \in X$ existe $A_x$ aberto tal que para toda cobertura $\mathcal C$ para $X$, $\sigma(\mathcal C) \neq A_x$. Note que $\mathcal C =\{A_x\ : x \in X\}$ é uma cobertura (pois cada elemento $x \in X$ está pelo menos em $A_x$), porém, $\sigma(\mathcal C) = A_x$ para algum x, o que é uma contradição. Logo,existe $x \in X$ tal que para qualquer $A$$x \in A$$\mathcal C$$X$$\sigma(\mathcal C) = A$ text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:ccirculos&rev=1604689510&do=diff Seja $p \in \pi$, $\pi$ um plano qualquer. Seja $l$ uma semi reta com início em $p$. Para cada ponto $q \in l$, $q \neq p$, tome um círculo nele centrado, com raio $r = d(p,q)$. Dessa forma associamos a cada ponto em $l$ um círculo contendo $p$. Como existem $\mathfrak c$ pontos em $l$, segue que existem $\mathfrak c$ círculos em $\pi$ contendo $p$ text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:cexemplosdefechados&rev=1604689510&do=diff Defina, para cada \( x \in \mathbb R\), \[ \mathcal I_x = [x, x+1]\] Logo, \(\mathcal J = \{\mathcal I_x : x \in \mathbb R \}\) é uma família de \(\mathfrak c\) fechados não enumeráveis. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:chset&rev=1604689510&do=diff Suponha CH verdadeira. Então podemos admitir $\mathbb R$ com uma boa ordem $\preceq$ tal que $\{x \in \mathbb R: x \preceq y\}$ é enumerável para todo $y \in \mathbb R$. Tome $A = \{(x,y) \in \mathbb R^2: x \preceq y\}$. Dessa forma, dado $y \in \mathbb R, H(A,y)$ é enumerável, pois $H(A,y) = \{x \in \mathbb R: x \preceq y\}$. Analogamente, dado $x \in \mathbb R, V(\mathbb R^2\setminus A, x)$ é enumerável, pois $\mathbb R^2 \setminus A = \{(x,y) \in \mathbb R^2: y \preceq x\}$ é enumerável.… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:circulod&rev=1604689510&do=diff Pelos resultados anteriores, sabemos que existe um plano $\pi$ contendo $p$ que não contém nenhum círculo de $\mathcal{F}$. Sabemos que cada $\mathcal{C}$ intersecta $\pi$ em, no máximo, 2 pontos, e como $|\mathcal{F}|$ < $\mathfrak c$, segue que $|\pi\cap\mathcal{F}| < \mathfrak c$. Sabemos que existem $\mathfrak c$ círculos em $\pi$ contendo $p$, portanto existe um círculo $\mathcal{D}$$p$$\mathcal{D}\cap\mathcal{F}=\emptyset$$|\pi\cap\mathcal{F}| = \mathfrak c$ text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:coberturafr3&rev=1604689510&do=diff Seja $\preceq$ uma boa ordem para os pontos de $\mathbb R^3$ de maneira que $|\{x \in \mathbb R^3: x \preceq y\}| < \mathfrak c$ para todo $y \in \mathbb R^3$. Vamos mostrar que tomando todos os pontos de $\mathbb R^3$ seguindo a boa ordem estabelecida provaremos que existe a família $\mathcal {F}$ de círculos disjuntos que cobrem $\mathbb R^3$. Seja $x_0$ o primeiro elemento segundo a boa ordem fixada. Seja $C$$x_0$$\mathcal F_{x_0} = \{C\}$$y \in \mathbb R^3$$x \prec y$$\bigcup_{z \prec y}\ma… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:coberturaq2&rev=1604689510&do=diff Tome o ponto $(0,0) \in \mathbb R^2$, e em seguida tome todos os círculos em $\mathbb R^2$ nele centrado. Note que, $\forall$ $(x,y) \neq (0,0)$ em $\mathbb R^2$, existe $r \in \mathbb R$ tal que: $(x)^2 + (y)^2 = r^2$, ou seja, existe um circulo $\mathcal{C}$ centrado em $(0,0)$ que o contém. Em particular todos os pontos de $\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$. Portanto existe uma família $\mathcal{F}$ de círculos $\mathcal{C}$ tal que $\bigcup_{C \in \mathcal F}C = \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:coberturar2&rev=1604689510&do=diff Vamos assumir que existe uma família $\mathcal{F}$ de circunferências disjuntas tal que $\bigcup \mathcal{F} = \mathbb R^2$. Para obter uma contradição construiremos por indução uma sequência $\{\mathcal{C}_n: n<\omega\}$ de elementos de $\mathcal{F}$ da seguinte forma: Comece com uma circunferência $\mathcal{C}_0\in\mathcal{F}$ qualquer, e no passo n+1 tome uma circunferência $\mathcal{C}_{n+1}\in\mathcal{F}$$\mathcal{c}_n$$\mathcal{C}_n$$\mathcal{C}_1$$\mathcal{c}_0$$\mathcal{C}_0$$\mathcal{… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:coberturar3&rev=1604689510&do=diff Vamos assumir que existe uma família $\mathcal{F}$ de esferas disjuntas tal que $\bigcup \mathcal{F} = \mathbb R^3$. Para obter uma contradição, construiremos, por indução, uma sequência $\{\mathcal{E}_n: n<\omega\}$ de elementos de $\mathcal{F}$ da seguinte forma: Comece com uma esfera $\mathcal{E}_0\in\mathcal{F}$ qualquer, e no passo n+1 tome uma esfera $\mathcal{E}_{n+1}\in\mathcal{F}$ que contém o centro $\mathcal{e}_n$$\mathcal{E}_n$$\mathcal{E}_1$$\mathcal{e}_0$$\mathcal{E}_0$$\mathcal{… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:compacthaursdorff_normal&rev=1604689510&do=diff Seja $K$ compacto de Hausdorff. $K$ então é $T_1$. Considere $F,C \subset K$ fechados disjuntos. $F$ e $C$ são, portanto, compactos em $K$. Do exercício anterior, conseguimos para cada $x \in F$ abertos disjuntos $A_x,B_x$ tais que $x \in A_x$ e $C \subset B_x$, para cada $x \in F$. Note que $\mathcal{A} = \{A_x | x \in F \} $ é uma cobertura de $F$, portanto existe uma subcobertura finita $\mathcal{A}'= \{ A_{x_1}, \ldots, A_{x_n} \} \subset \mathcal{A}$$F$$F \subset U = \displaystyle \bigcup… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:compactificacaodeumponto&rev=1604689510&do=diff Queremos mostrar que existe uma compactificação $c\mathbb{R}$ para $\mathbb{R}$ tal que $c\mathbb{R} \setminus \mathbb{R} = \{a\}$. Defina em $c\mathbb{R}$ a topologia $\sigma = \{A \in \tau_{ \mathbb{R}}\} \cup \{\{a\} \cup (\mathbb{R} \setminus K), K \subset \mathbb{R} $ compacto $ \}$, onde $\tau_{ \mathbb{R}}$ é a topologia usual de $\mathbb{R}$. Seja $\mathcal{U} = \{U_{i}\}_{i \in I}$ uma cobertura por abertos para $c\mathbb{R}$, então existe $U_{k} \in \mathcal{U}$ tal que $a \in U_{k}… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:compactoeqlindelofeenumcompacto&rev=1604689510&do=diff Suponha $X$ Lidelöf e enumeravelmente compacto. Considere $\mathcal{U}$, uma cobertura por abertos de $X$. Como $X$ é Lindelöf, existe $\mathcal{U'} \subset \mathcal{U}$, uma subcobertura enumerável para $X$. Como, $X$ também é enumeravelmente compacto, existe $\mathcal{U''} \subset \mathcal{U'}$, uma subcobertura finita para $X$. Então, para toda cobertura por abertos $\mathcal{U}$$\mathcal{U''}$$X$$X$$\mathcal{U}$$X$$X$$\mathcal{U'}$$X$$|\mathcal{U}| = \omega$$X$$\mathcal{U}$$X$ text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:complementargrande&rev=1604689510&do=diff Afirmo que se $(s, F) \in \mathbb P$, então $\omega \smallsetminus \bigcup F$ é infinito. Com efeito, suponhamos o contrário, isto é, $\omega \smallsetminus \bigcup F$ é finito. Temos que $F \in [A]^{<\aleph_0}$, isto é, $F \subset A$ e $F$ é finito. Como $A$ é infinito, existe $G \in A$ tal que $G \notin F$. Seja $n=|F|$ e escrevemos $F=\{A_1,\ldots,A_n\}$. Logo $G \neq A_i \forall i \in \{1,\ldots,n\}$ e como $A$ é quase disjunta então $G \cap A_i$ é finito $\forall i \in \{1,\ldots,n\}$. Com… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:completo-_fechado&rev=1604689510&do=diff Tome $ x \in \overline{F}$. Temos que existe¹ uma sequência $(a_n)_{n \in \mathbb{N} } \subset F$ que converge para $x$. Assim, $(a_n)_{n \in \mathbb{N} }$ é de Cauchy. Como $F$ é completo, existe $y \in F$ tal que $a_n \rightarrow y$. Pela unicidade de limite de sequência, $x = y$ e, portanto, $\overline{F} \subset F $. Ou seja $F$ é fechado. 1 - Axiomas de separação: Exercício 9 text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:composta&rev=1604689510&do=diff Seja $C \in \tau_3$, note que $g$ é contínua, portanto $ g^{-1}[C] \in \tau_2$, dado que $f$ é contínua $f^{-1}[ g^{-1}[C] ] \in \tau_1$. Dessa forma todo aberto em $X_3$ tem como imagem inversa um aberto em $X_1$, pela aplicação $ g \circ f $. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:condnecessariaesuficiente&rev=1604689510&do=diff $(\Longrightarrow)$ Como $X$ é enumerável, existe $f: \omega \to X$ sobrejetora. Assim, podemos chamar $x_n = f(n)$. Como $f$ é sobrejetora, temos que $X = \{ x_n : n \in \omega\}$. $(\Longleftarrow)$ Considere $X=\{ x_n: n \in \omega\}$. Definimos a função $f: \omega \rightarrow X$ de modo que $ f(n) = x_n$. Como $X = \{x_n: n \in \omega\}$, $f$ é sobrejetora. Logo, $X$ é enumerável. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:continua&rev=1604689510&do=diff $(\Longrightarrow)$ Seja $x \in X$ tal que $f(x) \in A \subset Y$ com $A$ aberto. Dado que $f$ é contínua, $f^{-1}[A]$ é aberto em $X$. Por definição temos que $x \in f^{-1}[A]$ e $f[f^{-1}[A] ] \subset A$, então $f$ é contínua $\forall x \in X$. $(\Longleftarrow)$ Seja $A \subset Y$ aberto. Seja $x \in f^{-1}[A]$. Como $f$ é contínua em todo $x \in X $, então existe $B_x$ aberto, tal que $x \in B_x$ e $f[B_x] \subset A$. Note que $\bigcup_{ x \in f^{-1}[A]}B_x = f^{-1}[A]$, pois seja $ x \in \… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:convergent-_cauchy&rev=1604689510&do=diff Seja $ ( x_n)_{n \in \mathbb{N} } $ tal que $x_n \longrightarrow x$ em um espaço métrico, então $(\forall B_{\frac{ \varepsilon}{2} }(x)) (\exists n_0)$ tal que se $n \geq n_0$ então $x_n \in B_{\frac{ \varepsilon}{2} }(x) $. Sejam $a,b \geq n_0$ temos que $d(x_{b}, x) < \frac{ \varepsilon }{2}$ e $d(x, x_a) < \frac{ \varepsilon }{2}$ logo, da desigualdade triangular $d(x_{b}, x_a) \leq d(x, x_a) + d(x_{b}, x)$ ,ou seja $d(x_{b}, x_a) \leq \varepsilon $. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:cplanos&rev=1604689510&do=diff Seja $p \in \mathbb R^3$ e $\pi$ um plano contendo $p$. Fixe $r$ uma reta contida em $\pi$ e que contém $p$. Podemos rotacionar $\pi$ em torno de $r$ entre [0,$\pi$[. Portanto para cada $\alpha \in$ [0,$\pi$[, existe um plano $\pi_{\alpha}$ contendo $p$ e todos esses planos são distintos. Como [0,$\pi$[ possui cardinalidade $\mathfrak c$, segue que existem $\mathfrak c$$p$ text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:decrescons1&rev=1604689510&do=diff Suponha que não. Dado $x_m \in (x_n)_{n \in \omega}$, defina $N = \{n \in \omega: x_n = x_m\}$, Vamos separar em dois casos: Caso 1) Existe $m \in \omega$ tal que $N$ é infinito. Nesse caso, tome $(x_n)_{n \in N}$, e note que ela é constante. Caso 2) $N$ é finito para todo $m \in \omega$. Seja $x_{n_0} \in (x_n)_{n \in \omega}$. Seja $N_0 = \{m \in \omega: x_m = x_0\}$, que é finito por hipótese. Agora tome $x_{n_1}$ de forma que $x_{n_1} > x_m, \forall m \in N_0$$N_1 = \{m \in \omega: x_m =… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:decrescons2&rev=1604689510&do=diff Seja $(x_{n_k})_{k \in \omega}$ a subsequência formada pelos picos, onde $n_k < n_p$ se $k < p$. Note que essa sequência é infinita (pois existem infinitos picos) e é decrescente. De fato, seja $x_{n_k}$ e $x_{n_{k+1}}$. Como $n_k < n_{k+1}$, então $x_{n_k} > x_{n_{k+1}}$. Note também que $x_{n_0}$ é o maior pico, pois $n_0 < n_k, \forall k>0$, portanto $x_{n_0} > x_{n_k}$. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:decrescons3&rev=1604689510&do=diff Seja $x_k$ o menor pico (que existe pois existem apenas finitos picos). Seja $x_{p_0}$ tal que $p_0 > k$, portanto $x_{p_0} < x_k$. Pela minimalidade de $x_k, x_{p_0}$ não pode ser pico. Então existe $p_1 > p_0$ tal que $x_{p_0} < x_{p_1}$. Analogamente, $x_{p_1}$ não pode ser pico, então existe $p_2 > p_1$ tal que $x_{p_2} > x_{p_1}$. Podemos definir uma sequência crescente seguindo a ideia anterior. De fato, suponha definida até $x_{p_{n-1}}$$p_n > p_{n-1}$$x_{p_n} > x_{p_{n-1}}$$x_{p_n}$$(x_{… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:deltaimersao&rev=1604689510&do=diff Já sabemos que $\mathcal F$ é injetora e contínua, se restringirmos o contradomínio para $Im(\Delta_\alpha f_\alpha)$, então $\Delta_\alpha f_\alpha$ é bijetora e contínua. Falta mostrarmos que $\Delta_\alpha f_\alpha ^{-1}$ é contínua. Seja $U \subset X$ aberto, então $F = X \setminus U$ é fechado. Queremos mostrar que $\Delta_\alpha f_\alpha[U]$ é aberto. Como $\mathcal F$ separa pontos de fechados, se $x \in U (x \notin F)$$\exists \alpha \in A$$ f_\alpha (y) \notin \overline{f_\alpha[F]}$$f… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:deltainjetora&rev=1604689510&do=diff Se $\mathcal F$ separa pontos, então $\forall x,y \in X, \exists \alpha \in A$ tal que $f_\alpha (x) \neq f_\alpha (y)$. Sejam $x,y \in X$ tais que $x \neq y$, então $\Delta_\alpha f_\alpha (x) = (f_\alpha (x))_{\alpha \in A}$ e $\Delta_\alpha f_\alpha (y) = (f_\alpha (y))_{\alpha \in A}$. Como $\mathcal F$ separa pontos, então $\exists \beta \in A$ tal que $f_\beta (x) \neq f_\beta (y)$. Portanto, $\Delta_\alpha f_\alpha (x)$ e $\Delta_\alpha f_\alpha (y)$ diferem em pelo menos uma coordenada.… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:densfinita&rev=1604689510&do=diff Suponha $(X, \leq)$ um conjunto finito totalmente ordenado com ordem densa. Como $X$ é finito, então existe $x \in X$ tal que $y \leq x$, $\forall y \in X$. Seja $a$ = $max\{y \in X: y < x\}$. Note que $a$ existe, caso contrário $X = \{x\}$, mas por hipótese $X$ possui mais de um ponto. Devido a ordem ser densa, existe $z \in X$ tal que $a < z < x$, contrariando a unicidade de $a$$(X, \leq)$$\leq$ text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:densoem2omega&rev=1604689510&do=diff Note que um aberto básico em $\prod_{a \in A}{\omega}$ é um conjunto $V = \prod_{a \in A}{V_a}$ tal que exite um subconjunto finito $\{a_1,\ldots,a_n\}$ de $A$ (suponhamos $a_i < a_j$ quando $i<j$) onde $V_{a_i}$ é conjunto unitário e $V_a = \omega$ se $a \neq a_i$ para todo $a_i$. Note que existem $J_i$ intervalos disjuntos tais que cada $a_i \in J_i$. Basta então tomarmos a função $f_{(\pi_{a_1}(V),\ldots,\pi_{a_n}(V)) , \{J_1,\ldots,J_n\}}$. Note que tal função está em $D$$V$$D$ text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:densofamabertosdisj&rev=1604689510&do=diff Seja \(U\) um aberto não vazio de \(X\). Então existe $A\in\mathcal{A}$ tal que $A\subset U$. Note que \(A \cap (\bigcup \mathcal A_{max}) \neq \emptyset\), ou \(\mathcal A_{max}\) não seria maximal. Segue que \(U \cap (\bigcup \mathcal A_{max}) \neq \emptyset\). text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:densointerdenso_denso&rev=1604689510&do=diff Seja$(X, \tau)$ onde $X = \{ 1,2,3 \} $ e $\tau = \{ \emptyset, \{ 1,2,3 \}, \{ 1,2 \} \}$. Considere os conjuntos $A = \{ 2, 3 \}$ e $B = \{ 1 \} $. Note que $A$ e $B$ são densos em $X$, porém $A \cap B = \emptyset$. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:densordem&rev=1604689510&do=diff $\Rightarrow$) Seja $D \subset X$ denso no sentido de ordem. Tome $A \subset X$ um aberto não vazio, que por definição é de um dos três tipos: $$]a, b[ = \{x \in X: a < x \text{ e } x < b\}$$ $$]-\infty, b[ = \{x \in X: x < b\}$$ $$]a, +\infty[ = \{x \in X: a < x\}$$ Se $A$ for do primeiro tipo, tome $x \in X$ tal que $a < x < b$, que existe pela densidade de $\leq$. Agora, tome $y \in X$ tal que $x < y < b$. Note que $]x, y[$ é um aberto de $X$ contido em $A$. Por definição, existe $d \in D$… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:densosxbases.2&rev=1604689510&do=diff Seja $D$ um denso enumerável em $Y$. Sabemos que $D$ existe pois $Y$ é separável. Sabemos que $Y$ é denso em $X$, portanto, para qualquer $A \in \tau$, temos que $A \cap Y \neq \emptyset$. Mas na topologia induzida por $X$, $B = A \cap Y$ é aberto em $Y$. Assim $$D \cap B \neq \emptyset \Rightarrow D \cap ( A \cap Y ) \neq \emptyset \Rightarrow D \cap A \neq \emptyset.$$ Portanto $D$ é um denso enumerável de $X$. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:densosxbases1&rev=1604689510&do=diff Queremos mostrar que existe $D \subset X$ enumerável e denso. Seja $\mathcal{B} = \{ B_n | n \in \mathbb{N} \}$ uma base enumerável de $X$. Para cada $B_n \in \mathcal{B}$ escolhemos um $x_n \in B_n$. O conjunto $D = \{ x_n | x_n \in \mathbb{N} \}$ é enumerável, pois $\mathcal{B}$ é. $D$ também é denso, pois, seja $A \in \tau$ temos que, se $x \in A$ existe $B_n \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B_n$ e $B_n \subset A$. Mas $x_n \in B_n$ e $x_n \in D$. Portanto $D \cap A \neq \emptyset$. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:densosxbases3&rev=1604689510&do=diff Seja $D = \{ d_n | n \in \mathbb{N} \}$ denso em $X$. Para cada $ n \in \mathbb{N}$ definimos $\mathcal{B}_n = \{ B_q(d_n) | q \in \mathbb{Q}_{>0} \}$. Considere $\mathcal{B} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{B}_n $. Vamos provar que $\mathcal B$ é base. Seja $A \subset X$ um aberto qualquer. Para $a \in A$ qualquer, tome $B_q(a) \subset A$ com $q \in \mathbb{Q}$ e considere o aberto $B_{ \frac{q}{2}}(a) \subset B_{q}(a) $. Como $B_{ \frac{q}{2}}(a)$ é aberto, temos que $B_{ \frac{q}{2}}(a… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:densosxbases6&rev=1604689510&do=diff Suponha que o plano de Niemystki seja metrizável. Podemos então supor $(P,d)$ um espaço métrico. Mostramos em $5.1$ que o plano de Niemystki é separável, logo do exercício $4$ dessa lista, nosso espaço possui base enumerável. Contradição, pois no item $5.3$ mostramos que o plano de Niemystki não admite base enumerável. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:densosxbases_5&rev=1604689510&do=diff Seja $(P,\tau)$ o plano de Niemytski, onde $\tau$ é a topologia definida no enunciado. $5.1:$ Basta tomar o $D = \{(x,y) \in \mathbb{Q} : y \geq 0 \}$, $D \subset P$ é denso e enumerável. $5.2:$ Considere a topologia de subespaço $\pi = \{ A \cap X : X \in \tau\} $, onde $A = \{ (x,0) : x \in \mathbb{R} \}$. Note que $ A \cap X = \emptyset$ se $X = B_r(x,y), y \neq 0$, e que $A \cap X = \{ x \} $ se $X = B_r(x,r) \cup \{ (x,0) \}$. Ou seja $\pi$ é uma topologia discreta, e como $x \in … text/html 2020-11-06T14:45:05+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:diferencaraiz&rev=1604684705&do=diff \[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} & = & \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x})(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}\\ & = & \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x + 1 - x}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}\\ & = & 0 \end{array}\] text/html 2020-11-06T14:45:05+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:diferencaraiz2&rev=1604684705&do=diff \[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x^2 -3} & = & \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x^2 - 3})(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x^2 - 3})}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x^2 - 3}}\\ & = & \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x + 1 - x^2 + 3}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x^2 - 3}}\\ & = & \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^2(\frac{1}{x} + \frac{4}{x^2} - 1)}{x(\sqrt{\frac{x + 1}{x^2}} + \sqrt{\frac{x^2 - 3}{x^2}})}\\ & = & \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x(\frac{1}{x} + \… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:dispersoaltura&rev=1604689510&do=diff Seja $\alpha$ a altura de Cantor-Bendixson de $X$. $X^{(\alpha)} \subset X$ não tem ponto isolado. Daí se $X$ for disperso, $X^{(\alpha)} = \emptyset$. Provemos a recíproca. Seja $Y \subset X$. Suponha que $Y$ não tem ponto isolado e vamos mostrar que $Y = \emptyset$. Em particular, $Y$ não contém nenhum ponto que seja isolado em $X$, pois tal ponto seria isolado em $Y$$Y \subset X$$Y \subset X'$$Y \subset X^{(\beta)}$$\beta$$Y \subset X^{(\alpha)} = \emptyset$$Y = \emptyset$ text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:dnehdenso&rev=1604689510&do=diff Tome um função qualquer $f \in P$. No caso em que $n \in dom(f)$ temos que $f \in D_n$ e $f\supset f$. No caso em que $n \notin dom(f)$ podemos fazer a extenção $g = f \cup (n,79)$, onde $g \in D_n$ e $g \supset f$. Portanto $D_n$ é denso. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:domphieqomega&rev=1604689510&do=diff * $dom(\varphi) \subset \omega$ Como para cada $f \subset \varphi$ temos $dom(f) \subset \omega$ concluímos que $dom(\varphi) \subset \omega$. * $\omega \subset dom(\varphi)$ Suponha que $\omega \not\subset dom(\varphi)$, isso significa que existe $n \in \omega$ tal que $n \notin dom(\varphi)$. Mas então não existe $f \in F$ tal que $n \in dom(f)$, isto é, $F \cap D_n = \emptyset$, um absurdo. text/html 2020-11-06T14:45:05+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:e2x&rev=1604684705&do=diff Fazendo $y = 2x$, temos $dy = 2dx$. Assim, quando $x = a$, $y = 2a$ e quando $x = b$, $y = 2b$. Desta maneira \[\int_a^b e^{2x}dx = \frac{1}{2}\int_{2a}^{2b} e^y dy = \frac{1}{2}(e^y)|_{2a}^{2b}.\] text/html 2020-11-06T14:45:05+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:e32x&rev=1604684705&do=diff Façamos $a = 3x^2$. Assim, $da = 6xdx$. Quando $x = 0$, $a = 0$. Quando $x = 1$, $a = 3$. Assim \[\int_0^1 x e^{3x^2}dx = \frac{1}{6}\int_0^3 e^a da = \frac{1}{6}e^a|_0^3.\] text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:egehdenso&rev=1604689510&do=diff Tome uma função qualquer $f \in P$. Se $f \not\subset g$ temos que $f \in E_g$ e $f \supset f$. Se $f \subset g$ basta fazermos a extensão $h = f \cup \{(n, g(n)+1)\}$, onde $n \notin$ dom($f$). Assim teremos $h \in E_g$ e $h\supset f$. Portanto $E_g$ é denso. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:enumcompactossetodoinfinitopontacum&rev=1604689510&do=diff Suponha que $X$ é enumeravelmente compacto. Seja $A$ um subconjunto infinito de $X$. Considere $B = \{b_n\}_{n \in \omega}$ um subconjunto infinito enumerável de $A$. Vamos realizar a demonstração por contradição. Suponha que $A$ não possui ponto de acumulação, isso implica que $B$ não possui ponto de acumulação. Logo, $B$$B$$b_n \in B$$U_n$$X$$$U_n \cap B = \{b_n\}$$$\{(X \setminus B), U_n\}_{n \in \omega}$$X$$X$$\{(X \setminus B), U_n\}_{n=0}^k$$X$$B \subset \bigcup_{n=0}^k U_n$$B$$U_n \cap … text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:equiv.loc.compacto&rev=1604689510&do=diff Primeiro vamos mostrar que em um espaço $X$ de Hausdorff, todo compacto $C\subset X$ é fechado. Seja $C\subset X$ um compacto. Vamos construir uma cobertura aberta para $X\setminus C$ assim: Tome $x\in X$, então para todo $c\in C$, tome $A_c$ e $B_c$ abertos tais que $x\in A_c$, $c\in B_c$ e $A_c\cap B_c=\emptyset$. $\mathcal{C}=\{B_c| c\in C\}$ é cobertura para $C$, portanto podemos tomar $c_0, c_1,\ldots, c_n$$\mathcal{C'}=\{B_{c_k}| k\leqslant n$$k$$\}$$C$$A_{c_k}$$A_x=\bigcap \{A_{c_k}| k\… text/html 2020-11-06T14:45:05+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:esen&rev=1604684705&do=diff $\def\sen{\text{sen}}$ Fazendo $f(x) = e^x$ e $g'(x) = \sen x$, temos que $f'(x) = e^x$ e $g(x) = -\cos x$. Assim \[\int_a^b e^x \sen x dx = (-e^x \cos x)|_a^b + \int_a^b e^x \cos x dx.\] Para calcular $\int_a^b e^x \cos x dx$, fazemos $f(x) = e^x$ e $g'(x) = \cos x$. Assim $f'(x) = e^x$ e $g(x) = \sen x$. Logo $\int_a^b e^x \cos x dx = (e^x \sen x)|_a^b - \int_a^b e^x \sen x$. Substituindo na anterior, temos: \[\int_a^b e^x \sen x dx = (-e^x \cos x + e^x \sen x)|_a^b - \int_a^b e^x \sen xdx.\… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:espacmetric0_haudorff&rev=1604689510&do=diff Para mostrar que todo espaço métrico $ ( X, d) $ é de Hausdorff basta mostrar que dados $x,y \in X$, existem bolas abertas disjuntas centradas em $x$ e em $y$. Para $x,y \in X$ considere $B_{\delta}(x)$ e $B_{\delta}(y)$ com $\delta = \frac{d(x,y)}{2}$. Suponha por absurdo que $\exists z \in B_{\delta}(x) \cap B_{\delta}(y)$. Note que $d(y,z) < \delta$ e $d(x,z) < \delta $. Absurdo, pois $ d(y,z) + d(x,z) < 2 \delta = d(x,y) $, que contradiz a definição de espaço métrico na desigualdade triangu… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:estrategiabaseenumeravel&rev=1604689510&do=diff Considere $\mathcal B = \{ B_n : n \in \omega \}$ base de $X$. Note que se $D \in X$ denso, então para todo $n \in \omega$ existe $b \in D$ tal que $b \in B_n$. Basta então que o jogador II tome na n-ésima jogada $b_n \in B_n$. De fato, como $\mathcal B$ é enumerável o jogador II consegue tomar ao menos um $b_n$ para cada $B_n$. Além disso, sabemos que, para todo $A$$X$$B_n \in \mathcal B$$B_n \subset A$$b_n \in A$$\{b_n : b_n \in B_n , n \in \omega \}$ text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:ex3&rev=1604689510&do=diff Seja $X$ transitivo, queremos mostrar que todo elemento de $ \alpha \cup \{ \alpha \}$ está em $X$. Tome $a \in \alpha \cup \{ \alpha \} $, temos que, ou $a \in \alpha$ ou $a \in \{ \alpha \}$. Se $a \in \alpha$ como $X$ é transitivo $ a \in X$, por outro lado, se $ a \in \{ \alpha \}$ então $ a = \alpha $, portanto está em $X$. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:ex5defamilias&rev=1604689510&do=diff Seja $A$ uma família dominante qualquer. Suponha que $A$ não é ilimitada, isto é, existe $h \in \omega^\omega$ tal que para todo $f \in A ,f\leq^*h$. Vamos ver que isto implica que a família $\omega^\omega$ não é ilimitada. Com efeito, dado $g \in \omega^\omega$ arbitrário, existe $f \in A$ tal que $g\leq^*f$ (pois $A$ é dominante), logo $f\leq^*h$ (pois $A$$g\leq^*h$$h \in \omega^\omega$$g \in \omega^\omega$$g \leq^* h$ text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:ex6defamilias&rev=1604689510&do=diff Queremos mostrar que existe $g \in \omega^{\omega}$ tal que, para toda $f_n \in A$, $f_n \leq^* g$. Note que demonstrar isso é o mesmo que mostrar que os conjuntos $B_n = \{m \in \omega : g(m) < f_n(m)\}$ são finitos para todo $n \in \omega$. Vamos então construir uma $g$ que torna todos os $B_n$'s finitos. Defina $g(m) = 1$ + max$\{f_k(m) : k \leq m \}$. Como o conjunto $\{f_k(m) : k \leq m\}$ é sempre finito, então tomar o maior elemento dele está bem definido (note também que tal conjunto não… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:exer-sub2-4&rev=1604689510&do=diff Se $C \cup \{B_i\}$ não admitisse subcobertura finita, então $C \cup \{B_i\} \in \mathcal{C}$ e $C \subset C \cup \{B_i\}$, o que contradiz a hipótese de $C$ ser maximal, a menos que $\{ B_i \} \in C$. Mas nesse caso $\{B_i\} \in \mathcal{B} \cap \mathcal{C}$ e $x \in B_1 \cap \cdots \cap B_n \subset A \Rightarrow x \in B_i \in \mathcal{C}$, o que contradiz a hipótese de que $x \notin B \forall B \in \mathcal B \cap C$. Logo, $C \cup \{B_i\}$ tem subcobertura finita. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:exer2-compactos&rev=1604689510&do=diff $(X, \tau)$ espaço topológico e $\mathcal{B}$ uma base. $1 \Longrightarrow 2$ Decorre diretamente da definição de compacto. $1 \Longleftarrow 2$ Queremos mostrar que para uma cobertura $\mathcal{A}$ aberta qualquer de $X$ existe uma subcobertura $\mathcal{A}' \subset \mathcal{A} $ finita. Seja $ \mathcal{A} $ uma cobertura aberta qualquer de $X$. Para cada $x \in X$ tome $A_x \in \mathcal{A}$ , tal que $x \in A_x $$\mathcal{A_x} = \{ A_x | A_x \in \mathcal{A} \} $$X$$x \in X$$B_x \in \mathc… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:exer3-compactos&rev=1604689510&do=diff Dado um espaço topológico $(X,\tau)$, dizemos que $Y\subset X$ é compacto se $(Y,\tau')$, sendo $\tau'$ a topologia de subespaço para $Y$, é compacto. Seja $\mathcal{C_Y}$ uma cobertura aberta para $Y$ (de abertos em $(Y,\tau')$). Definimos $\mathcal{C}:=\{C$ aberto em $X: C\cap Y=C_Y$, para algum $C_Y$ aberto em $Y\}$ Seja $\mathcal{C'}$ subfamília finita de $\mathcal{C}$ tal que $\bigcup_{C\in\mathcal{C'}}C\supset Y$$\mathcal{{C'}_Y}=\{C'\cap Y:C\in\mathcal{C'}\}$$\bigcup_{C\in\mathcal{C… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:exer3&rev=1604689510&do=diff Considere $(X, \tau)$ um espaço topológico. Mostraremos que $ \overline A^c$ é aberto. Seja $ x \in \overline A^c$, então existe um aberto $V_x$, tal que $V_x \cap A = \emptyset$. Então $\overline A^c = \bigcup_{x \in \overline A^c} V_x$ é um conjunto aberto. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:exer4-_cauchy&rev=1604689510&do=diff Da hipótese $(x_{n_k})_{n \in \mathbb{N} } $ é converge para $x$, isto é, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que se $n_k \geq n_0$ então $d(x, x_{n_k} ) < \frac{ \varepsilon}{2}$. Como $(x_n)_{ n \in \mathbb{ N} } $ é de Cauchy temos que existe $ n_1 \in \mathbb{N}$ de modo que, se $n, n_k \geq n_1$ temos que $ d(x_n, x_{n_k}) < \frac{ \varepsilon}{2}$. Sejam $n, n_k \geq \max \{n_0,n_1 \} $, da desigualdade triangular $d(x,x_n) \leq d(x, x_{n_k} ) + d(x_n, x_{n_k}) $, ou seja $d(x,x_n) < \vare… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:exerc.5-_densos&rev=1604689510&do=diff Suponhamos que $g(x) \neq f(x) \in Y $ para algum $x \in X$, $Y$ é de Hausdorff, portanto existem abertos disjuntos $A,B$ tais que $f(x) \in A$ e $g(x) \in B$, como $f$ e $g$ são contínuas (da continuidade no ponto) temos que existem $C_1, C_2 \subset X$ abertos tais que $x \in C_1$ e $x \in C_2$ e $f[C_1] \subset A$ e $f[C_2] \subset B$. Da densidade de $D$ sabemos que $C_1 \cap D \neq \emptyset$ e $C_2 \cap D \neq \emptyset$, note que $f[C_1 \cap C_2 \cap D ] = g[ C_1 \cap C_2 \cap D ] \subset… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:exerc6&rev=1604689510&do=diff Como $f$ é contínua para cada $x \in X$ temos que $\forall A \subset Y$ aberto tal que $f(x) \in A$, $\exists B \subset X$ aberto tal que $x \in B$ e $f[B] \subset A$. Como $x_n \longrightarrow x $, $\exists n_0 \in \mathbb{N} $ tal que se $n \geq n_0$ então $x_n \in B$, portanto $f(x_n) \in A \forall n \geq n_0$ e consequentemente $ ( f(x_n) )_{ n \in \mathbb{N} }$ converge. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:exerc13-compactos&rev=1604689510&do=diff Temos que $f[K]$ é um compacto em $\mathbb{R}$. Então $f[K]$ é fechado e limitado em $\mathbb{R}$, ou seja, $f[K] \subset [m,n], m,n \in \mathbb{R}$, portanto $\sup f[K], \inf f[K] \in f[K]$. Então, existem $a,b \in K$ tais que $f(a) \leq f(x) \leq f(b) \forall x \in K$. text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:exerc14-_compactos&rev=1604689510&do=diff Seja $x \in X \smallsetminus K$. Como $X$ é Hausdorff, para cada $y \in K$ existem abertos disjuntos $U_y$ e $A_y$, contendo $x,y$ respectivamente. Observe que o conjunto $\mathcal{A} = \{ A_y | y \in K \} $ é uma cobertura de $K$. Portanto existe $\mathcal{A}' = \{ A_{y_1},\ldots, A_{y_n} \} \subset \mathcal{A} $ subcobertura finita de $K$. Temos que $x \in Q = \displaystyle \bigcap_{i = 1}^n U_{y_i} $ e $K \subset R = \displaystyle \bigcup_{i = 1}^n A_{y_i} $. $Q \cap R = \emptyset$, então… text/html 2020-11-06T16:05:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:existemxymenorestqanterioraindavale&rev=1604689510&do=diff Dado \(d \in \mathbb{R_{>0}}\), tome \(x\) tal que \(B_d(x) \cap F\) é não enumerável. Definimos: \(V_0 =\{B_d(x)\}\), \(V_n = \{B_r(y - 2r), B_r(y), B_r(y + 2r): B_{3r}(y) \in V_{n-1}\}\); com \(r = \frac{d}{3^n}\), \(n \in \omega\). Note que, para todo \(n \in \omega\), \(B_d(x) \backslash \bigcup V_n\) é enumerável, então todo \(V_i\) tem pelo menos um \(B_r(z_i)\) tal que \(B_r(z_i) \cap F\) é não enumerável. Assim, suponha que nenhum \(V_i\) tem dois intervalos não consecutivos e … text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:existenciaomega_1&rev=1604689511&do=diff Tome um conjunto $X$ não enumerável. Pelo Princípio da boa ordem existe $\leq$, uma boa ordem em $X$. Para cada $x \in X$ definimos $A_x = \{y \in X: y < x\}$. Agora nosso problema pode ser dividido em dois casos: * Não existe $x \in X$ tal que $A_x$ seja não enumerável Neste caso teremos então que $\forall x \in X$$A_x$$\omega_1$$X$$\omega_1$$x \in X$$A_x$$Z \subset X$$Z = \{z \in X: A_z$$\}$$X$$a \in Z$$a \leq b, \forall b \in Z$$A_a$$Z$$x \in A_a$$A_x \subset X$$A_a$$\omega_1$$\omega_1$… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:existseqparaxnofecho&rev=1604689511&do=diff Seja $x \in \overline{A}$. Considere o aberto $B_{\frac{1}{n} }(x)$ com $n \in \mathbb{N}_{>0}$. Como $x$ é ponto aderente, $B_{\frac{1}{n} }(x) \cap A \neq \emptyset $. Para cada $n \in \mathbb{N}_{>0}$ escolha $a_n \in B_{ \frac{1}{n} }(x) \cap A$. A sequência $ (a_n)_{n \in \mathbb{N} }$ converge para $x$. De fato, seja $\varepsilon \in \mathbb{R}_{> 0} $, da propriedade de Arquimedes¹ $\exists n_0 \in \mathbb{N} $ tal que $\frac{1}{n_0} < \varepsilon$. Se $n \geq n_0 $ temos que $\frac{1}{n… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:familiatamanhocontinuo&rev=1604689511&do=diff Para todo $r \in \mathbb{R \setminus Q}$. Defina $A_r = \{q_n^r : n \in \omega\}$ e considere a família $\mathcal{A} = \{A_r: r \in \mathbb R \smallsetminus \mathbb Q\}$. Pelo exercício anterior $\mathcal{A}$ é uma família quase disjunta. Note que $| \mathcal{A} | = \mathfrak{c} $, pois $f : \mathcal{A} \rightarrow \mathbb{R} \smallsetminus \mathbb Q$ dada por $f(A_r) = r$ é uma função bijetora. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:fcgfiltroemp&rev=1604689511&do=diff Basta definir $G$ a partir de $F$: $G=\{e \in P: \exists a \in F, a \leq e\}$. Note que $F \subset G$. $G$ satisfaz a condição $2$ de filtro, pois dados $a, b \in G$ existem $a', b' \in F$ tal que $a'\leq a$ e $b'\leq b$, mas como $a',b' \in F$, existe $c\in F, c \leq a',b'$, e pela transitividade da ordem $c \leq a,b$. Pela maneira como $G$ foi definido, é evidente que ele também satisfaz a condição $3$ de filtro.$P$$r\in G$$p,q\le r$$p\perp q$$2$$p,q$$G$$P \neq G$$G$$1$$G$$F$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:fdeltaequivalencia&rev=1604689511&do=diff * $1 \Rightarrow 2$ Para todo $F, G \in \mathcal F$ distintos temos que $F\cap G= \Delta$. Mas então, dado $a \in F\cap G$ temos que $a \in A,$ para todo $A \in \mathcal F$ ---------- * $2 \Rightarrow 1$ Dados $A,B \in \mathcal F$ distintos, se $a \in A\cap B$, então $a \in F$ para todo $F \in \mathcal F$. Basta definir então $A \cap B = \Delta$ e, pela afirmação, teremos que $\Delta \subset F$, para todo $F \in \mathcal F$. Deste modo, para qualquer $F,G \in \mathcal F$ distintos temos $… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:fechadocompacto&rev=1604689511&do=diff Seja $\mathcal C$ uma cobertura de abertos (de $X$) para $F$. Considere $\mathcal A = \mathcal C \cup \{X \smallsetminus F\}$. Note que $\mathcal A$ forma uma cobertura de abertos para $X$. Como $X$ é compacto, então $\mathcal A$ admite subcobertura finita, vamos chamá-la de $\mathcal A'$. Se $\mathcal A'$ é subcobertura finita de $X$, então $\mathcal A' \smallsetminus \{X \smallsetminus F\}$ é subcobertura finita para $F$. Logo, $F$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:fechadoenumcompacto&rev=1604689511&do=diff Seja $X$ enumeravelmente compacto e $F \subset X$ fechado. Queremos mostrar que $F$ é enumeravelmente compacto. De fato, seja $\mathcal U = \{U_i\}_{i \in \omega}$ cobertura enumerável para $F$. Seja $U_i^*$ aberto em $X$, tal que $U_i = U_i^* \cap F$, para todo $i \in \omega$. Note que $\mathcal U^* = \{U_i^*: U_i \in \mathcal U\} \cup \{(X \setminus F)\}$ é uma cobertura enumerável, para $X$. Como $X$ é enumeravelmente compacto, existe $\mathcal U'^* \subset \mathcal U^*$$X$$$\mathcal U'^*… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:fexistenaoenumeravel&rev=1604689511&do=diff Talvez você queira consultar alguns resultados da lista sobre enumerabilidade. Suponha que para todo $n \in \omega$ o conjunto $F_n = \{F \in \mathcal F: |F|=n \}$ seja enumerável. Note que como $\mathcal F$ é composto de conjunto finitos deveríamos ter que $\bigcup_{n \in \omega}F_n = \mathcal F$. Mas $\mathcal F$ é não enumerável e a união enumerável de conjuntos enumeráveis é $n \in \omega$$\mathcal F' \subset \mathcal F$$|F|=n$$F \in \mathcal F'$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:ffechadodiscretoempsi&rev=1604689511&do=diff Note que $(X \setminus \mathcal{F}) = \omega$. Seja $x \in X \setminus \mathcal{F}$, então $\{x\}$ é um aberto, tal que $(X \setminus \mathcal{F}) \cap \{x\} = \emptyset$. Logo $\mathcal F$ é fechado. Resta mostrar que $\mathcal{F}$ é discreto em $\psi( \mathcal{F})$. Vamos provar que, para todo $F \in \mathcal{F}$, $\{F\}$ é aberto em $\mathcal F$. De fato, note que $\{F\} \cup F$ é uma vizinhança básica de $F$. Além disso, $[\{F\} \cup F] \cap \mathcal F = \{F\}$. Ou seja, $\{F\}$ é aberto … text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:filimitadasobreomega&rev=1604689511&do=diff Queremos mostrar que existe $(x_n)_{n \in \omega}$ sequência de pontos em $\omega$, tal que $f[\{x_{n_k} : k \in \omega\}]$ é ilimitado em $\mathbb R$. Note que $f^{-1}[(-\infty , -n) \cup (n , + \infty)]$ é um aberto, para todo $n \in \omega$, pois $f$ é uma função contínua. Além disso, $f^{-1}[(-\infty , -n) \cup (n , + \infty)]$ é não vazio, para todo $n \in \omega$. De fato, suponha que não, então existe $K \in \omega$, tal que $f^{-1}[(-\infty , -K) \cup (K , + \infty)] = \emptyset$, ou s… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:filtrofcapdnempty&rev=1604689511&do=diff Tome $d_0 \in D_0$. Agora, como $d_0 \in P$ existe $d_1 \in D_1$ tal que $d_1 \leq d_0$. Procedendo dessa maneira, tome por $A$ o conjunto formado pelos $d_i \in D_i$, tal que $d_i \leq d_{i-1}$, com $d_0$ sendo o maior elemento. Temos então, pela maneira que $A$ foi construído, que dados $d_j, d_k \in A$ sempre teremos $d_j \leq d_k,d_j$, quando $k\leq j$ (temos o análogo quando $j \leq k$$F$$A \subset F$$A$$A\cap D_n \neq \emptyset$$n \in \omega$$F \cap D_n \neq \emptyset$$n \in \omega$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:finegneqh&rev=1604689511&do=diff Pegue $f \in F\cap E_g$, isso significa que existe $n \in dom(f)$ tal que $f(n) \neq g(n)$, então existe $\varphi (n) \neq g(n)$, portanto $\varphi \neq g$. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:finitodiscreto&rev=1604689511&do=diff Seja $X$ um espaço finito, então $X = \{x_1, \ldots, x_n\}$ para algum $n \in \omega$. Queremos mostrar que $\{x_i\}$ é aberto para todo $x_i \in X$. Como $X$ é $T_1$, dado $x_j$ sabemos que $\{x_j\}$ é fechado. Logo, $X \smallsetminus \{x_j\}$ é aberto. Note que $\{x_i\} = \bigcap_{j \neq i} X \smallsetminus \{x_j\}$ e que interseção finita de abertos é aberto, logo, $\{x_i\}$ é aberto. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:funcnem01&rev=1604689511&do=diff Seja $f:\omega \rightarrow \{0,1\}$. Então temos que $$f(0)= a_0;\ f(1)=a_1;\ \ldots\;f(n)=a_n,\ \ldots $$ onde $a_i$ é $0$ ou $1$. Note que podemos representar cada $f$ unicamente pela sequência formada pelos elementos $a_i$ como feito a cima, portanto basta mostrarmos que o conjunto formado por todas as sequências infinitas enumeráveis com elementos $0$$1$$A=\{a^n = (a^n_1,\ a^n_2,\ \ldots)\ |\ a_i \in \{0,1\},\ \forall i\in \mathbb{N}\}$$A$$a^n$$$a^0 = (a^0_1,\ a^0_2,\ a^0_3,\ a^0_4,\ a^… text/html 2020-11-06T14:45:05+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:fundraiz&rev=1604684705&do=diff $\def\sen{\text{sen}}$ Começamos com o limite pela direita e fazemos a substituição $a = x^2$ e, portanto, $x = \sqrt{a}$ (note que só estamos lidando com $a, x > 0$). Assim: \[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\sen(x^2)}{x} & = & \lim\limits_{a \to 0^+} \frac{\sen(a)}{\sqrt{a}}\\ & = & \lim\limits_{a \to 0^+} \frac{\sen(a)\sqrt{a}}{a}\\ & = & 0 \end{array}\] Para o limite pela esquerda, fazemos a substituição $a = x^2$, mas neste caso $x = -\sqrt{a}$. Assim: \[\begin{array}{r… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:grandesfamilias&rev=1604689511&do=diff Vamos realizar uma prova por contrapositiva. Suponha que existem infinitos elementos em $\{q_n^r: n \in \omega\} \cap \{q_n^s: n \in \omega\}$, defina $(q_n^{r \cap s})_{n \in \omega}$, como sendo $\{q_n^{r \cap s} : n \in \omega\} = \{q_n^r: n \in \omega\} \cap \{q_n^s: n \in \omega\}$. Para todo $\epsilon > 0$, existe $n_{1} \in \omega$, tal que se $n \ge n_{1}$ então $|q_n^r - r| < \frac\epsilon2$, pois $q^r_n \rightarrow r$. Por outro lado, existe $n_{2} \in \omega$, tal que se $n \ge n_{… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:hausdorf-_compacto_fechado&rev=1604689511&do=diff Considere $x \in X \smallsetminus K $ e $y \in K$. Como $X$ é de Hausdorff, existem abertos disjuntos $U_y$ e $A_y$ contendo $x$ e $y$ respectivamente. Note que o conjunto $\mathcal{A} = \{ A_y | y \in K \}$ forma uma cobertura aberta de $K$. Uma vez que $K$ é compacto existe uma família finita $ \mathcal{A}' = \{A_{y_1}, \ldots, A_{y_n} \} \subset \mathcal{A}$ de abertos que cobre $K$. Considere agora o conjunto $\mathcal{U} = \{U_{y_1},\ldots,U_{y_n} \}$$x \in U = \displaystyle \bigcap_{i = 1}… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:hc-_ma&rev=1604689511&do=diff Suponha a hipótese do contínuo. Portanto não existe $\kappa$ cardinal tal que $\omega < \kappa < \mathfrak {c}$. Como MA$_{\mathfrak {c}}$ não vale e MA$_{\omega}$ vale, segue que MA vale. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:hfechado&rev=1604689511&do=diff A primeira parte, de que se $X$ é compacto, então $X$ é h-fechado é imediata, pois para toda cobertura aberta para $X$, existe uma subcobertura $C'$ finita, mas se $X\subset \cup C'$, então $X\subset \overline{\cup C'}$. Agora vamos mostrar a segunda parte. Fixada uma cobertura $C$ para $X$, vamos construir outra cobertura $C_B$$x\in X$$x\in A\in C$$B$$x\in \overline{B}\subset A$$C_B$$X$$C'_B\subset C_B$$X\subset \overline{\cup C'_B}$$C'_B$$C$$B$$C'_B$$A$$C$$\overline{B}\subset A$$C$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:iiganhaprodiiganha&rev=1604689511&do=diff Sejam \(\sigma_x\) e \(\sigma_y\) estratégias vencedoras para o jogador II nos espaços \(X\) e \(Y \), respectivamente. Construiremos uma estratégia \(\sigma\) vencedora para o jogador II em \(X \times Y\). Seja \(U_0\) a primeira escolha do jogador I no espaço \(X \times Y\). Fixam-se, então, abertos \(A_x^0\) e \(A_y^0\) de \(X\) e \(Y\) (resp.) tais que \(A_x^0 \times A_y^0 \subset U_0\)\(V_0 = \sigma(U_0) = \sigma_x(A_x^0) \times \sigma_y (A_y^0) = B_x^0 \times B_y^0\)\(U_1 \subset V_0\)\(A_… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:iipontoabertoirothberger&rev=1604689511&do=diff Seja $\sigma$ uma estratégia para o jogador II no jogo ponto-aberto. Sabemos pelos itens anteriores que $C_1=\{\sigma(x): x \in X\}$ é cobertura para $X$. Tomemos $C_1$ como a primeira jogada do jogador I no jogo $\mathsf G_1(\mathsf O, \mathsf O)$. O jogador II então joga $\sigma(x_1)$ para algum $x_1 \in X$. Tomemos agora $C_2=\{\sigma(x_1, x): x \in X\}$ a segunda jogada do jogador I. O jogador II então joga $\sigma(x_1, x_2)$$x_2 \in X$$\sigma(x_1, x_2, \ldots,x_n)$$\sigma$$\sigma$$\sigma$… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:imagemcontinuacompacto_compacto&rev=1604689511&do=diff Considere $\mathcal{A} $ uma cobertura aberta de $f[X]$. Como $F$ é contínua $f^{-1}[A]$ é aberto em $X$ para cada $A \in \mathcal{A}$, assim $\{ f^{-1}[A] | A \in \mathcal{A} \}$ é uma cobertura aberta de $X$. Como $X$ é compacto existe subcobertura finita $ \{ f^{-1}[A_1], \ldots , f^{-1}[A_n] \}$. Portanto $\{ A_1, \ldots , A_n \} \subset \mathcal{A}$ é subcobertura de finita de $f[X]$, consequentemente $f[X]$ é compacto. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:imagemseparavel&rev=1604689511&do=diff Sejam $f:X \rightarrow Y$ função contínua e $X$ separável com $D \subset X$ denso e enumerável. Assim, $f[X]$ é separável com $f[D]$ denso e enumerável. De fato, note que como $D$ é enumerável, $f[D]$ também é enumerável. Agora, como $f$ é contínua, temos que para todo aberto $B$ em $f[X]$ existe um aberto $A$$X$$f[A] \subset B$$D \cap A \neq \emptyset$$f[D] \cap f[A] \neq \emptyset$$f[A] \subset B$$f[D] \cap B \neq \emptyset$$B$$f[X]$ text/html 2020-12-04T10:03:40+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:imersao1&rev=1607087020&do=diff $ (i) \implies (ii) $ Seja $ \mathcal{A} = (A,\cdot^{\mathcal{A}}) \subseteq \mathcal{N} $ submodelo, com $ h:M \to N $ isomorfismo. Seja $ \varphi $ do tipo $ s = t $, $ \mathcal{M} \models \phi[\alpha] \iff \mathcal{A} \models \varphi[h\circ \alpha] \iff \mathcal{N} \models \phi[h\circ \alpha] $, pois os termos de submodelos são iguais. Seja $ \varphi $ do tipo $ R(t_{1},\ldots,t_{n}) $, tome $ \mathcal{M} \models \varphi [\alpha] $, temos então que $ (t_{i}^{\mathcal{M}}[\alpha])_{i=1,\… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:indicesfinitos&rev=1604689511&do=diff $ 1 \Longrightarrow 2 $ Suponhamos que o conjunto $ \{ n \in \mathbb{N} : x_n \notin A \} $ seja infinito, então tal conjunto não é limitado superiormente, portanto não existe $n_0$ tal que $ x_n \in A $ para todo $n \geq n_0$, portanto $x_n \nrightarrow x$.Contradição. $ 1 \Longleftarrow 2 $ Como $\{ n \in \mathbb{N} : x_n \notin A \} \subset \mathbb{N} $ é finito é também limitado superiormente, ou seja, existe um $n_0$ tal que $x_n \in A$ se $n \geq n_0$$x_n \longrightarrow x$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:inducordinais&rev=1604689511&do=diff Suponha que exista $\alpha$ ordinal tal que não vale $\varphi(\alpha)$. Temos então que o conjunto $B=\{\beta\in \alpha: \neg\varphi(\beta)\}$ é não vazio. Como $\alpha$ é um ordinal, podemos extrair um elemento minimal $\beta_0\in B$ de forma que vale $\varphi(\beta)$ para todo $\beta\in\beta_0$. Mas isso implica que vale $\varphi(\beta_0)$, uma contradição. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:infinaodenso&rev=1604689511&do=diff Admita $\omega$ com a ordem usual, que é um conjunto infinito e totalmente ordenado. Tome $n \in \omega$ qualquer. Note que não existe $m \in \omega$ tal que $n+1 > m > n$, onde $n+1$ é o sucessor de $n$. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:infinitosprimos&rev=1604689511&do=diff Suponha que existam finitos primos. Então $\bigcup_{p \text{ é primo}}S(0,p)$ é fechado pois união finita de fechados é fechada. Daí segue que $\mathbb{Z} \setminus \bigcup_{p \text{ é primo}}S(0,p) = \{-1, 1\}$ é aberto, o que é absurdo pois provamos anteriormente que conjuntos abertos são infinitos. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:intersec-fecha&rev=1604689511&do=diff Seja $(X, \tau) $ um espaço topológico. “$\subset$” Seja $x \in \overline A$, tome $F \in \mathcal{F}$. Supondo que $x \notin F$, então $x \in F^c \in \tau$. Assim $F^c \cap A \neq \emptyset$, contradição. “$\supset$” Seja $x \in \bigcap_{F \in \mathcal{F} } F$, temos que $\overline A \in \mathcal{F}$ pois é um conjunto fechado, ou seja, $x \in \overline A$. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:intersec-fechados&rev=1604689511&do=diff Seja $X \smallsetminus \bigcap_{F\in \mathcal{F} } F = (\bigcap_{F\in \mathcal{F} } F )^c $, das leis de Morgan $(\bigcap_{F\in \mathcal{F} } F )^c = \bigcup_{F\in \mathcal{F} } F^c $. $F^c$ é aberto, para cada $F \in \mathcal{F}$ portanto $(\bigcup_{F\in \mathcal{F} } F )^c$ é aberto¹, pois $\{ F^c : F\in \mathcal{F} \} $ é uma família de abertos. 1 - União dos elementos de uma família de abertos é um aberto :<http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/aurichi/exerc/doku.php?id=lista:vizinhanca#id0_… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:intervdisjuntos&rev=1604689511&do=diff Vamos dividir em três casos: Caso 1) $a_{\eta} \geq c_{\xi}$: Temos que $]a_{\xi},c_{\xi}[ \cap ]a_{\eta},c_{\eta}[ = \emptyset$, portanto $]a_\xi, b_\xi[ \cap ]a_\eta, b_\eta[ = \emptyset$ e $]b_\xi, c_\xi[ \cap ]b_\eta, c_\eta[ = \emptyset$. Caso 2) $a_{\eta} \in ]a_{\xi},c_{\xi}[$: Por hipótese temos que $]a_\eta, c_\eta[ \cap \{b_\xi: \xi < \eta\} = \emptyset$ e além disso, temos também que $b_{\eta} \in ]a_\eta, c_\eta[$. Isso nos dá duas possibilidades: $]a_\eta, c_\eta[ \subset ]a_\xi,… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:kscompacto&rev=1604689511&do=diff Vamos mostrar que para qualquer cobertura por abertos básicos $C_K$ de $K_s$ existe $C' \subset C_K$ finita tal que $K_s \subset \overline{\cup C'}$. Fixada uma cobertura $C_K$ para $K_s$, vamos construir uma cobertura $C_X$ para $X\setminus K_s$ assim: para todo $x\in X\setminus K_s$, tome um aberto básico $A$ contendo $x$ tal que, para algum aberto $B \supset K_s$, $A\cap B = \emptyset$. Note que a escolha de abertos com essas propriedades é possível porque $X$$C = C_K \cup C_X$$C\in \mathcal… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:lemadeltasistemarima&rev=1604689511&do=diff Pelo resultado de um exercício anterior sabemos que para $\mathcal F$ uma família não enumerável de conjuntos finitos existem $n \in \omega$ e $\mathcal F' \subset \mathcal F$ não enumerável tais que $|F|=n$ para todo $F \in \mathcal F$. Vamos provar por indução sobre $n$ o lema do $\Delta$-sistema. ---------- Tome $n=1$ (note que para $n=0$$\mathcal F$$A$$B$$A \cap B = \emptyset$$\mathcal F$$\Delta$$n$$\Delta$$\mathcal F$$n+1$$\Delta$$\mathcal F' = \{F_\xi : \xi \in \omega_1\}$$a$$\mathcal A=… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:leqequivalencia&rev=1604689511&do=diff Afirmações: * $f \leq^* g$ se $\{n \in \omega: f(n) > g(n)\}$ é finito. * $\exists n_0$ tal que $\forall n \geq n_0, f(n) \leq g(n)$. ---------- * $(1 \rightarrow 2)$ $A = \{n \in \omega: f(n) > g(n)\}$ é finito, ou seja, $A$ é limitado superiormente. Chamando de $n_0$ a menor das cotas superiores de $A$, teremos que $\forall n \geq n_0$, $f(n) \leq g(n)$. * $(2 \rightarrow 1)$ $\exists n_0$ tal que $\forall n\geq n_0, f(n)\leq g(n)$. Isso significa que se existir $m<n_0$ tal que $… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:leqpreordem&rev=1604689511&do=diff Note que, dado $f \in \omega^\omega$, temos que $\{n \in \omega: f(n) > f(n)\} = \emptyset$ e, portanto, finito. Assim, $f \leq^* f$. Dados $f, g, h \in \omega^\omega$ temos $f \leq^* g$ e $g \leq^* h$. Perceba que $A = \{n \in \omega: f(n) > g(n)\}$ e $B = \{n \in \omega: g(n) > h(n)\}$ são ambos finitos, mas perceba que $C = \{n \in \omega: f(n) > h(n)\} \subset (A\cup B)$, como a união finita de conjuntos finitos é finita, temos que $C$ também é finito, ou seja, $f \leq^* h$. Concluímos ent… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:limitadofechado_compacto&rev=1604689511&do=diff Note que todo intervalo fechado e limitado de $\mathbb R$ é da forma $[a,b]$, com $a,b \in \mathbb R$ e $a \leq b$. Defina $f: [0,1] \to [a,b]$ da forma $f(x) = (1-x)a+bx$. Note que $f$ é contı́nua, pois $f$ é polinomial, e que $f[0,1] = [a,b]$. Prova: $f[0,1] \subset [a,b]:$ Tome $f(z) \in f[0,1]$. Sabemos então que $f(z) = (1-z)a+bz = a - za + bz$. Vamos mostrar que $a \leq f(z) \leq b$, ou seja, $a \leq a - za + bz \leq b \Rightarrow a \leq a + z(b-a) \leq b \Rightarrow 0 \leq z(b-a) \leq b… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:lindeloef_-_1&rev=1604689511&do=diff Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico com base enumerável $\mathcal{B} = \{B_n: n \in \mathbb{N} \} $. Seja $\mathcal{C}$ uma cobertura qualquer de $X$. Para cada $x \in X$ tome $A_x \in \mathcal{C}$ tal que $x \in A_x$. Como $\mathcal{B} $ é base, podemos, para cada $x \in X$ tomar $B_x \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B_x \subset A_{x}$. Seja $\{x_n: n \in \mathbb{N}\}$ tal que $\{B_x: x \in X\} = \{B_{x_n}: n \in \mathbb{N}\}$. Note que $\mathcal{C}'=\{ A_{x_n}: x \in X\} \subset \mathcal{C… text/html 2020-11-06T14:45:05+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:ln&rev=1604684705&do=diff Fazendo $f(x) = \ln x$ e $g'(x) = 1$, temos que $f'(x) = \frac{1}{x}$ e $g(x) = x$. Assim, \[\int_a^b \ln x dx = (x \ln x)|_a^b - \int_a^b \frac{1}{x} x dx = (x \ln x - x)|_a^b.\] text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:maisplanosmenoscirculos&rev=1604689511&do=diff Por este exercício anterior, sabemos que existem $\mathfrak c$ planos contendo $p$. Suponha que, para cada $\mathcal{C} \in \mathcal{F}$, $\mathcal{C}$ está contido em um plano diferente dos demais. Dessa forma estaremos “usando” $|\mathcal{F}|$ planos (menor que $\mathfrak c$), que é menor que o número de planos contendo $p$ (igual a $\mathfrak c$). Portanto existe um plano que contém $p$$\mathcal{C} \in \mathcal{F}$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:maomega&rev=1604689511&do=diff Se $|\mathcal D| = \omega$, então o problema se torna igual a este já resolvido para uma pré ordem qualquer, em particular para uma ccc. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:maxfamabertosdisj&rev=1604689511&do=diff Seja \(\zeta(x)\) a propriedade \(\forall a,b \in x, \, \, a\cap b = \emptyset\) (x é formado por conjuntos dois a dois disjuntos). Dado \(\mathcal A\) uma família de abertos de \(\tau\) dois a dois disjuntos, definimos \(\mathbb{A} = \{x \in \wp(\tau): \mathcal A \subset x \land \zeta(x)\}\). Note que \(\mathbb{A}\) é parcialmente ordenado pela inclusão e dado um \(\mathbb{A}' \subset \mathbb{A}\) totalmente ordenado, \(\mathcal A'_u = \bigcup \mathbb{A}'\) é uma cota superior de \(\mathbb{A}… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:maxmin&rev=1604689511&do=diff $\Rightarrow$) Se $\{x\}$ é aberto, então por definição existem $a$, $b$ tais que $\{x\}$ = $\{y \in X: a < y \text{ e } y < b\}$. Note que $a$ = $max$$\{y \in X: y < x\}$ e $b$ = $min$$\{y \in X: x < y\}$. $\Leftarrow$) Seja $\alpha = \max\{y \in X: y < x\}$ e $\beta = \min\{y \in X: x < y\}$. Por definição $]\alpha, \beta[ = \{x \in X: \alpha < x \text{ e } x < \beta\}$ é um aberto. Como o único elemento que pertence a tal conjunto é o próprio $x$, então $\{x\}$ é aberto. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:medidanula&rev=1604689511&do=diff Dado $\varepsilon>0$ fixo mas arbitrário, $\mathbb P_{\varepsilon}$ é ccc e $\mathcal D = \{D_r: r\in X\}$ é uma família de densos con $|\mathcal D|=|X|$. Se vale $MA_\kappa$ e $|X|=\kappa$ então existe $G$ filtro sobre $\mathbb P_{\varepsilon}$ tal que $G$ é $\mathcal D$-genérico. Note que $g=\bigcup G$ é extensão de todo elemento de $G$. Seja $r \in X$ qualquer, existe $f \in G \cap D_r$, logo $f \in G$ e existe $n \in dom(f)$ tal que $r \in I_{f(n)}$. Mas $g$ é extensão de $f$$n \in dom(g)$$… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:mengerimplicasigma&rev=1604689511&do=diff Seja $\sigma$ uma estratégia para o jogador II. Mostraremos que se $X\neq \bigcup_{s\in ^{<\omega}\omega}G_s$, então o jogador I possui uma estratégia que vence de $\sigma$. Suponha que exista um $x\in X$ tal que $x\not\in \bigcup_{s\in ^{<\omega}\omega}G_s$. Então, para todo $s=(s_0,\dots, s_m)\in ^{<\omega}\omega$ existe uma cobertura $\mathcal{U}_s$ tal que $x\not\in \overline{\bigcup{\sigma((\mathcal{U}_{s_0},\dots,\mathcal{U}_{s_m})^{\smallfrown}\mathcal{U}_{s})}}$. Deste modo, partindo… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:mengerlindelof&rev=1604689511&do=diff Vamos mostrar que se $X$ não é de Lindelöf, então $X$ não é de Menger. Isto é, I tem uma estratégia vencedora. Como $X$ não é de Lindelöf, existe $\mathcal C$ cobertura aberta sem subcobertura enumerável. Considere a estratégia para I de forma que, a cada rodada $n$$\mathcal C$$A = \{C_n: n \in \omega\}$$C_n$$\bigcup_{n \in \omega} C_n \subset \mathcal C$$\bigcup_{n \in \omega} C_n \neq X$ text/html 2023-05-08T14:11:56+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:modelofinito&rev=1683565916&do=diff Devemos mostrar que para toda L-fórmula $\varphi$, temos que $\mathcal{M} \vDash \varphi$ se, e somente se, $\mathcal{N} \vDash \varphi.$ Mostremos a ida , sejam uma L-fórmula $\varphi$ e uma valoração $\beta$ em $\mathcal{N}$ , consideremos a seguinte valoração $\beta h^{-1}$ em $\mathcal{M}$ , assim pela hipótese ($\mathcal{M} \vDash \varphi[\alpha] ,\forall\alpha$ valoração) e pelo resultado anterior, temos $\mathcal{M} \vDash \varphi[\beta h^{-1}]$$\mathcal{N} \vDash \varphi[\beta ]$$h$$… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:naoexistefiltrodneg&rev=1604689511&do=diff Como visto em um exercício anterior, quando $F\cap D_n \neq \emptyset$ para todo $n \in \omega$, temos $\varphi : \omega \rightarrow \omega$. Mas, como visto em outro exercício, $F\cap E_g \neq \emptyset$ não vale para $\varphi = g$, ou seja, não vale para todo $g : \omega \rightarrow \omega$. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:naofamdomenum&rev=1604689511&do=diff Provamos anteriormente que toda família dominante é ilimitada, assim como provamos que uma família enumerável não é ilimitada. Disso concluímos que não existe família dominante que seja enumerável. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:naolimitado_naocompact&rev=1604689511&do=diff Suponha que $A$ seja compacto e fixe $x \in A$. A família de abertos $\mathcal{Q} = \{ B_{n}(x)| n \in \mathbb{N} \}$ é uma cobertura de $A$, pois como $X$ é métrico, cada $y \in A$ está à uma distância finita de $x$. Basta então, para cada $y \in A$ tomar $n \in \mathbb{N}$ como sendo o menor natural maior do que $d(x,y)$. Como $A$ é compacto, existe $\mathcal{Q}'= \{ B_{n_1}(x),\ldots, B_{n_j}(x) \} \subset \mathcal{Q}$ subcobertura finita de $A$$B_n(x)$$x$$k = \max \{n_i\}$$i \in \{ 1,\ldots,… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:nomaxcfechados&rev=1604689511&do=diff Note que \(\mathcal F = \{\mathbb{R} \backslash \bigcup\limits_{i \in S} B_i : B_i \in \mathcal B, S \subset \omega\}\) é o conjunto de todos os fechados de \(\mathbb{R}\). Ou seja, cada elemento de \(\mathcal F\) é caracterizado por um \(S \subset \omega\) e, como existem \(2^{\aleph_0}\) \(S \subset \omega\), existem no máximo \( \mathfrak c = 2^{\aleph_0}\) fechados. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:normalehregular&rev=1604689511&do=diff Seja $(X,\tau)$ um espaço regular. Por ser regular, é $T_1$ (então basta mostrar que é $T_3$). Por ser $T_1$, temos que $\{x\}$ é fechado para todo $x \in X$. Assim, dado um $x \in X$ e um $F \subset X$ fechado tal que $F \cap \{x\} = \emptyset$, temos que existem $A$ e $B$ abertos disjuntos tal que $\{x\} \subset A$ e $F \subset B$. Mas $\{x\} \subset A \Leftrightarrow x \in A$. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:omega1ncomp&rev=1604689511&do=diff Seja $C = \{[0, \alpha[: \alpha \in \omega_1\}$. É fácil ver que $C$ é de fato uma cobertura aberta para $\omega_1$. Suponha que exista uma subcobertura finita de $C$, digamos $C'$. Então existe $\beta \in \omega_1$ tal que, $\forall \xi$ tal que $[0, \xi[ \in C'$, temos $\beta > \xi$, portanto temos $[0, \xi[ \subset [0,\beta[$, para todo $[0, \xi[ \in C'$. Ou seja, $\beta \notin C'$, logo $C'$ não é uma cobertura de $\omega_1$. Dessa forma temos que $C$$\omega_1$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:omegacartesomega&rev=1604689511&do=diff Temos que, para todo $n\in\omega$, existem $a,k\in\omega$ tais que $n=2^ak$, onde $2$ não divide $k$. Ou seja, podemos escrever todo natural como associação de um $a$ e um $k$, também naturais. Para que $\omega\times\omega$ seja enumerável é necessário que exista uma $f:\omega\longrightarrow\omega\times\omega$ sobrejetora. Numa $f$ sobrejetora teremos: $$\forall(a,k)\in\omega\times\omega, \, \exists \, n\in\omega: n=f(a,k)$$$f(2^ak) = (a, k)$$\omega$$\omega\times\omega$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:ordinaisexerc6&rev=1604689511&do=diff Para mostrarmos que $\alpha$ é um ordinal, devemos mostrar primeiro que $\alpha$ é transitivo. Para mostrar que $\alpha$ é transitivo,devemos mostrar que dado $\beta \in \alpha$, $\beta \subset \alpha$. Para fazer isso, devemos mostrar que dado $\gamma \in \beta$, $\gamma \in \alpha$. Como $\beta \in \alpha$ e $\alpha \subset X$, $\beta \in X$. Como X é transitivo, $\beta \subset X$. Logo, como $\gamma \in \beta$, $\gamma \in X$. $\in$ é uma ordem sobre $X$$\alpha,\beta,\gamma \in X$$\gamma \in… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:ordinaisexerc9&rev=1604689511&do=diff Para mostrar que $\beta \subset \gamma$, devemos mostrar que, dado $\theta \in \beta$, $\theta \in \gamma$. Temos que $\beta \subset \alpha$, logo, $\theta \in \alpha$. Temos também que $\gamma \in \alpha$ \ $\beta$, ou seja, $\gamma \in \alpha$ e $\gamma \notin \beta$. Como $\alpha$ é bem ordenado por $\in$, temos que quaisquer dois elementos de $\alpha$ são comparáveis, já que $\in$ é uma boa ordem e, consequentemente, uma ordem total. $\theta,\gamma \in \alpha$$\gamma \in \theta$$\theta = \… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:partesdea&rev=1604689511&do=diff Como $A$ é enumerável, consideremos $A = \{a_i : i \in \omega\}$. Suponha que $\wp(A)$ é enumerável. Neste caso temos $\wp(A) = \{B_i : i \in \omega\}$. Tomemos agora $B = \{a_i \in A : a_i \notin B_i\}$ onde, para cada $i \in \omega$, se $a_i \in B_i$ então $a_i \notin B$ e se $a_i \notin B_i$ então $a_i \in B$. Note que $B \neq B_i$ para todo $i \in \omega$, portanto $B \notin \wp(A)$. Absurdo. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:penumeravelccc&rev=1604689511&do=diff Vamos provar por indução sobre $n$ que o conjunto das funções com domínio de tamanho exatamente $n$ é enumerável. Dessa maneira a união dessas funções forma $P$ e como a união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável estaremos provando que $P$$n=1$$F=\{\{(a,b)\}: (a,b) \in \omega\times\omega\}$$\omega\times\omega$$n \in \omega$$F$$n$$G$$n+1$$f \in F$$n+1$$A_f = \{ f \cup \{(a,b)\} : a,b \in \omega, a \notin dom(f)\}$$g \in A_f$$n+1$$\bigcup_{f\in F}A_f = G$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:penumeravelcccalt&rev=1604689511&do=diff Note que para toda função $f\in Fn(\omega,\omega)$ temos que $f$ é um subconjunto finito de $\omega\times \omega$, de modo que assim $Fn(\omega,\omega)\subset [\omega\times \omega]^{<\omega}$. Como $[\omega\times \omega]^{<\omega}$, pelo exercício, é enumerável, segue que $Fn(\omega,\omega)$ é enumerável. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:pontoaderente&rev=1604689511&do=diff Suponhamos que $F$ converge para mais de um ponto. Queremos então mostrar que se $X$ é Hausdorff, então $F$ não é ultrafiltro. Sejam $a,b \in X$ pontos para os quais $F$ converge. Nesse caso, toda vizinhança $V$ de $a$ e $U$ de $b$ pertence ao filtro $F$. Em particular, $A,B \in F$ para todos os abertos $A$$B$$a \in A$$b \in B$$X$$A$$B$$a \in A$$b \in B$$A \cap B = \emptyset$$F$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:pontofechado&rev=1604689511&do=diff Ida: Tome $x \in X$. Vamos mostrar que $X \smallsetminus \{x\}$ é aberto: Seja $y \in X$ com $y \neq x$. Como $X$ é $T_1$ então existe $A_y$ aberto em $X$ tal que $y \in A_y$ e $x \notin A_y$. Logo, temos que $A_y \subset X \smallsetminus \{x\}$. Como $y$ é arbitrário, segue que $\bigcup_{y \in X} A_y = X \smallsetminus \{x\}$. Logo, $X \smallsetminus \{x\}$ é aberto, pois é união de abertos. Volta: Dados $x, y \in X$ distintos e sabendo que $\{x\}$ é fechado temos que $X \smallsetminus \{x… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:preordemnordem&rev=1604689511&do=diff Solução 1) A ordem $\leq^*$ definida nesta lista é uma pré-ordem, mas não possui a propriedade antissimétrica. De fato, se $f \leq^* g$ e $g \leq^* f$ não temos que os conjuntos $\{n \in \omega : f(n) > g(n)\}$ e $\{n \in \omega: g(n) > f(n)\}$ são iguais. Solução 2) Considere a ordem $(X,\leq)$ de forma que $x \leq y$, com $x,y \in \mathcal {P}(X)$, se $\exists f: x \rightarrow y$ injetora. Mostremos que isso define uma pré-ordem que não é uma ordem: $I: x \rightarrow x$$x \leq x$$f: x \righta… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:produtoccc&rev=1604689511&do=diff Mostremos que dada uma família não enumerável de abertos de $\prod_{\xi < \kappa} X_\xi$, eles não são dois a dois disjuntos. É suficiente supormos uma família $(A_\xi)_{\xi<\omega_1}$ de abertos básicos, pois caso contrário podemos refinar os abertos a abertos básicos e tomar uma subfamília com a cardinalidade de $\omega_1$$\omega_1$$(a_\xi)_{\xi<\omega_1}$$a_\xi$$A_\xi$$\Delta$$\Delta$$\Delta$$\Delta$$\Delta = \emptyset$$A_\xi \cap A_\eta \neq \emptyset$$a_\xi$$a_\eta$$\Delta$$\Delta \neq \emp… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:produtosinfinitos.6&rev=1604689511&do=diff Sejam $x, y \in \prod_{i\in I}X_i$ distintos. Isso significa que ao menos uma de suas coordenadas são distintas. Sejam $x_k, y_k \in X_k$ essas coordenadas. Sabemos que $X_k$ é um espaço de Hausdorff, portanto existem abertos $A_k, B_k \subset X_k$ tais que $x_k \in A_k$, $y_k \in B_k$ e $A_k \cap B_k = \emptyset$. Podemos então construir os abertos $A = \prod_{i\in I} V_i$, onde $V_k = A_k$ e $V_i = X_i$ para $i \neq k$ e $B = \prod_{i\in I} V_i$$V_k = B_k$$V_i = X_i$$i \neq k$$x \in A$$y \in… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:pseudocompactoenumcompacto&rev=1604689511&do=diff Suponha que não. Então, existe $D_\omega \subset X$ discreto fechado e infinito, tal que $D_\omega = \{d_k: k \in \omega\}$. Defina $f : D_\omega \rightarrow \mathbb{R}$, como sendo $f(d_k) = k$, para todo $d_k \in D_\omega$. Note que, estamos sob as hipóteses do Teorema da Extensão de Tietze, pois $X$ é normal e $f$ é uma função contínua, definida num subconjunto fechado de $X$$g : X \rightarrow \mathbb{R}$$f$$g [X]$$X$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:psibaselocalenumeravel&rev=1604689511&do=diff Queremos mostrar que $\psi(\mathcal{F})$ tem base local enumerável. Iremos analisar os seguintes casos: * Se $x \in \omega$, claramente $x$ possui base enumerável. * Se $x \in \mathcal{F}$, defina o seguinte sistema de vizinhanças $\mathcal{V}_{x} = \{\{x\} \cup (x \setminus A) : A $ é finito $\}$. Note que $\mathcal{V}_{x}$ é enumerável, pois a quantidade de subconjuntos finitos que podemos retirar de um conjunto enumerável, é enumerável.$\psi(\mathcal{F})$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:psihausdorff&rev=1604689511&do=diff Queremos mostrar que $\psi(\mathcal{F})$ é Hausdorff. Sejam $x,y \in \psi( \mathcal{F})$, com $x \neq y$. Vamos analisar os seguintes casos: * Se $x,y \in \omega$, basta tomar $A = \{x\}$ e $B = \{y\}$. * Se $x \in \omega$ e $y \in \mathcal{F}$. Aqui temos dois casos a serem analisados. Se $x \in y$, tome $A = \{x\}$ e $B = \{y\} \cup (y \setminus \{x\})$. No caso em que $x \notin y$, tome $A = \{x\}$ e $B = \{y\} \cup y$. * Se $x, y \in \mathcal{F}$, como $\mathcal{F}$ é localmente finit… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:psinaonormal&rev=1604689511&do=diff Suponha que $\psi(\mathcal F)$ seja um espaço normal. Como $\psi(\mathcal F)$ é pseudocompacto, então $\psi(\mathcal F)$ é enumeravelmente compacto (pelo exercício). Logo, todo subconjunto infinito de $\psi(\mathcal F)$ possui ponto de acumulação (pelo execício). Mas $\mathcal F$ não possui ponto de acumulação, pois $\mathcal F$ é um fechado discreto infinito em $\psi(\mathcal F)$$\psi(\mathcal{F})$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:psipseudocompacto&rev=1604689511&do=diff Considere $(x_n)_{n \in \omega}$ sequência de pontos em $\omega$, tal que $f[\{x_{n_k}: k \in \omega\}]$ é ilimitado em $\mathbb R$ para qualquer subsequência $(x_{n_k})_{k \in \omega}$. Pelo exercício existe $(x_{n_i})_{i \in \omega}$ subsequência de $(x_n)_{n \in \omega}$, tal que $x_{n_i}$ é convergente, seja $L$ o seu limite. Note que, $f(x_{n_i})$ não converge para $f(L)$, pois $f[\{x_{n_i}: i \in \omega\}]$ é ilimitado por hipótese, o que é uma contradição, considerando que $f$$\psi(\mat… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:psiseparavel&rev=1604689511&do=diff Queremos mostrar que $\psi(\mathcal{F})$ é separável. Note que, é suficiente mostrarmos que $\overline{\omega} = \psi(\mathcal{F})$. Seja $V$ aberto básico, tal que $ V \neq \emptyset$, $V \subset \psi( \mathcal{F})$, vamos provar que $V \cap \omega \neq \emptyset$. Temos dois casos para analisar: * Se $V = \{n\}$, então $V \cap \omega = V \neq \emptyset$. * Se $V = \{F\} \cup (F \setminus A)$, onde $A$ é finito e $F \in \mathcal F$, temos: $V \cap \omega = [\{F\} \cup (F \setminus A)] \… text/html 2020-11-06T14:45:05+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:qualk&rev=1604684705&do=diff Note que $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 3^+} |4 - 5x| - k = \lim\limits_{x \to 3^+} 5x - 4 - k = 11 - k$. Já $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 3^-} x^2 + k = 9 + k$. Desta forma, precisamos que $11 - k = 9 + k$ ou seja, $k = 1$. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:quasedisjuntaenumeravel&rev=1604689511&do=diff Sejam $X$ conjunto enumerável e $\mathcal A = \{A_n : n \in \omega\}$ uma família quase disjunta de subconjuntos de $X$. Mostremos que ela não é maximal. Note que para qualquer $n \in \omega$, $\bigcup_{i \leq n}{A_i} \neq X$, pois caso contrário $A_{n+1} \cap \left(\bigcup_{i \leq n}{A_i}\right) = A_{n+1}$ e portanto $A_{n+1} \cap A_{m}$ será infinita para algum $m \leq n$. Considere então $B = \{b_n : n \in \omega\} \subset X$ tal que $b_n \notin \bigcup_{i \leq n}{A_i}$ para cada $n$. Note … text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:r3-q3retas&rev=1604689511&do=diff Sabemos que, fixando uma coordenada de um dos eixos e variando as demais, obtemos um plano. Portanto se a coordenada fixada pertencer a $\mathbb R \setminus \mathbb Q$, segue que o plano definido é tal que todo ponto nele contido pertence a $\mathbb R^3 \setminus \mathbb Q^3$ (portanto toda reta também), e como $|\mathbb R \setminus \mathbb Q| = \mathfrak c$, segue que existem $\mathfrak c$$\mathcal{F}$$|\mathcal{F}| < \mathfrak c$$\mathbb R^3 \setminus \mathbb Q^3$$p \in \mathbb R^3 \setminus \… text/html 2020-11-06T14:45:05+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:raizprox&rev=1604684705&do=diff \[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x}} & = & \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}\sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{\sqrt{x}}\\ & = & 1 \end{array}\] text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:regular_hausdorff&rev=1604689511&do=diff $(X,\tau)$ espaço topológico $T_1$ e $T_3$. Sejam $x,y \in X$ distintos, temos que $ x \notin \{ y \} $ e $\{ y \}$ é fechado, então existem abertos disjuntos $ A,B$ tais que $x \in A$ e $\{ y \} \subset B$ (isto é, $y \in B$) portanto $X$ é um espaço de Hausdorff. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:separavelccc&rev=1604689511&do=diff Sejam $(X,\tau)$ um espaço separável e $D$ um denso enumerável de $X$. Suponha que $(X,\tau)$ não é $c.c.c$. Seja $\mathcal {A}$ uma família não enumerável de abertos dois a dois disjuntos. Para cada $A \in \mathcal {A}$ tome $d_A \in D\cap A$. Considere o conjunto $\mathcal C = \{d_A \in D: A \in \mathcal A\}$. Temos que se $B \in \mathcal{A}$ e $B \neq A$ então $d_A \notin B$, pois $A$ e $B$ são disjuntos. Observe que pela não enumerabilidade de $\mathcal A$$\mathcal C$$D$$\mathcal C \subset D… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:seqconvergent&rev=1604689511&do=diff Para os reais, podemos reescrever a definição de sequência convergente da seguinte maneira: “A sequência $( x_n )$ converge para $y$ se, $(\forall B_{\epsilon}(y) ) (\exists n_0 \in \mathbb{N} ) $ tal que $x_n \in B_{\epsilon}(y)$ se n $\geq n_0$” De maneira mais clara, $x_n$ converge para $y$ se, $\forall \varepsilon > 0$ existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $ | x_n - y| < \epsilon$, $\forall n > n_0$. Note que $n+1 > n$, consequentemente $ \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} $, da propriedade de Arqu… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:seqespachausdorf&rev=1604689511&do=diff Suponhamos que $x_n \longrightarrow x$ e $x_n \longrightarrow y$, então existem $n_0,n_1 \in \mathbb{N} $ tais que $n \geq n_0 \Rightarrow x_n \in A$ e $n \geq n_1 \Rightarrow x_n \in B$. Tome $n \geq \max \{n_0, n_1 \} $, então $x_n \in A $ e $x_n \in B$. Absurdo, pois $A \cap B = \emptyset$. Observe que se $X$ é um espaço de Hausdorff para cada $x,y \in X$ existem $A,B \subset X$ abertos disjuntos tais que $x \in A$ e $y \in B$, portanto, pelo argumento apresentado acima, uma sequência num es… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:sigmacompactomenger&rev=1604689511&do=diff Sejam $(X,\tau)$ um espaço $\sigma$-compacto e $(K_n)_{n\in\omega}$ compactos tais que $X = \bigcup_{n\in\omega}K_n$. Suponha que na primeira jogada o jogador I escolhe a cobertura aberta $C_1$ de $X$. Em particular, $C_1$ é cobertura de $K_1$, e portanto, pela compacidade de $K_1$, existe $C'_1 \subset C_1$ finito tal que $C'_1$ é cobertura de $K_1$. Consideremos $C'_1$$n$$C_n$$X$$C'_n \subset C_n$$K_n$$\bigcup_{n\in\omega}C'_n = \bigcup_{n\in\omega}K_n = X$$(X,\tau)$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:sigmadaabertosbasicos&rev=1604689511&do=diff Seja \(\sigma\) uma estratégia vencedora para o jogador I com \(\sigma(()) = U_0\). Então existe \(\sigma'\) vencedora que só dá abertos básicos. Construímos da seguinte forma: Na primeira rodada, \(\sigma'\) escolhe um aberto básico \(A_0 \times B_0 \subset U_0\). O jogador II, então, escolhe um aberto \(V_0 \subset A_0 \times B_0\). Na segunda rodada, definimos \(\sigma'(V_0) = A_1 \times B_1\)\(A_1 \times B_1 \subset \sigma (V_0) = U_1\)\(\sigma\)\(\bigcap\limits_{i \in \omega}U_i = \emptyse… text/html 2021-04-30T12:17:52+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:solsup&rev=1619795872&do=diff $[\![ \exists y \in \dot{x} \varphi(y) ]\!]$ $\displaystyle =\sup_{t}[\![ t \in \dot{x} \wedge \varphi(t) ]\!]$ $\displaystyle =\sup_{t}[\![ \varphi(t) ]\!] [\![ t \in \dot{x} ]\!]$ $\displaystyle =\sup_{t}[\![ \varphi(t) ]\!] \sup_{y \in \text{dom}(\dot{x})}[\![ y=t ]\!]\dot{x}(y)$ $\displaystyle =\sup_{y \in \text{dom}(\dot{x})}\dot{x}(y)\sup_{t}[\![ \varphi(t)\wedge y=t ]\!]$ $\displaystyle =\sup_{y \in \text{dom}(\dot{x})} \dot{x}(y)[\![ \varphi(y) ]\!]$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:solucao6&rev=1604689511&do=diff Como $X$ é enumerável existe $g: \omega \rightarrow X$ sobrejetora, como da hipótese $ f: X \rightarrow Y$ é sobrejetora, temos uma função $h = f \circ g$,tal que $h: \omega \rightarrow Y$, e $h$ é sobrejetora pois é a composta de duas funções sobrejetoras. text/html 2023-05-08T14:36:28+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:start&rev=1683567388&do=diff A seguinte fórmula $$ \forall x (x < 0 \rightarrow x<y) \wedge \exists z (0<z \wedge z<x ) $$ tem a variável $y$ ocorrendo livre, a variável $z$ ocorrendo ligada ao quantificador existe, portanto, não ocorre livre e finalmente a variável $x$ ocorre ligada ao quantificador para todo na esquerda e ocorre livre na direita. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:subboaordem&rev=1604689511&do=diff Dado um conjunto $A \subset X$, sendo $X$ um conjunto bem ordenado, sabemos que $A$ possui um menor elemento. Agora tome $B \subset A$, isto é $B \subset X$, portanto $B$ também possui um menor elemento. Podemos concluir então que $A$ também é um conjunto bem ordenado. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:subespaco&rev=1604689511&do=diff Considere $(X, \tau)$ espaço topológico e $\tau' = \{Y \cap A: A \in \tau\}$, $Y \subset X$, uma topologia de subespaço para $Y$. Vamos mostrar que $\tau'$ de fato satisfaz as condições apresentadas neste exercício. 1. Por hipótese, $\emptyset, X \in \tau$. Temos então que $Y \cap \emptyset = \emptyset \in \tau'$ e $Y \cap X = Y \in \tau'$. 2. Sejam $Y \cap A, Y \cap B \in \tau'$, onde $A,B \in \tau$. Temos que $(Y \cap A) \cap (Y \cap B) = Y \cap A \cap B = Y \cap (A \cap B)$. Como $A,B \in … text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:subespacoseparavel&rev=1604689511&do=diff Seja $\mathcal B$ base enumerável de $X$. Como $Y \subset X$, temos que $\mathcal B' = \{Y \cap B : B \in \mathcal B\}$ é base de $Y$ (ver este exercício). Além disso, como existe uma quantidade enumerável de abertos $B \in \mathcal B$, existe também uma quantidade enumerável de abertos $Y \cap B \in \mathcal B'$, isto é, $\mathcal B'$ é enumerável. Logo, $Y$ tem base enumerável e, portanto, é separável. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:subespacot0&rev=1604689511&do=diff $(X, \tau)$ espaço topológico. Seja $Y \subset X$, considere a topologia de subespaço $\tau ' = \{ Y \cap A : A \in \tau \} $. Sejam $a,b \in Y \subset X$. Então existe $A \in \tau$ tal que $a \in A$ e $b \notin A$ ou $a \notin A$ e $b \in A$. Note que $ B = Y \cap A \in \tau '$, ou seja, $a \in B$ e $b \notin B$ ou $a \notin B$ e $b \in B$, portanto $(Y, \tau ')$ é $T_0$. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:subseq_omega1_conv&rev=1604689511&do=diff Seja $(x_n)_{n \in \omega}$ uma sequência de $\omega_1$. Admita $\omega_1$ bem ordenado. Pelo exercício 5, sabemos que existe uma subsequência constante, crescente ou decrescente de $(x_n)_{n \in \omega}$. Pelo exercício anterior sabemos que todo subconjunto enumerável de $\omega_1$ é limitado. Além disso, por esse outro exercício, sabemos que todo subconjunto limitado admitirá supremo. Note que $(x_n)_{n \in \omega}$$\omega_1$$(x_n)_{n \in \omega}$$(x_n)_{n \in \omega}$$sup$$\alpha$$]\beta,\alp… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:t1baire&rev=1604689511&do=diff Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico $T_1$, sem pontos isolados e enumerável. Como $X$ é enumerável, tomemos $X = \{x_i : i \in \omega\}$. Sem perda de generalidade, fixemos $x_1$. Como o espaço é $T_1$, para cada $x_i \in X$ com $i \neq 1$, existe $A_i \in \tau$ tal que $x_i \in A_i$ e $x_1 \notin A_i$. Assim, $\bigcup_{i \neq 1}A_i = X-\{x_1\} \in \tau$. De forma análoga, $X-\{x_i\} \in \tau$ para cada $i \in \omega$. Mais ainda, note que $X-\{x_i\}$$Y \subset X$$X-\{x_i\} \cap Y = \emptyset … text/html 2020-11-06T14:45:05+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:tan&rev=1604684705&do=diff $\def\sen{\text{sen}}$ Fazendo $u = \cos x$, temos que $du = -\sen x dx$. Quando $x = a$, $u \cos(a)$ e, quando $x = b$, $u = \cos(b)$. Assim, \[\int_a^b \frac{\sen x}{\cos x} dx = \int_{\cos(a)}^{\cos(b)}\frac{-1}{u}{du} = (-\ln |u|)|_{\cos(a)}^{\cos(b)}\] text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:tauehtop&rev=1604689511&do=diff $i)$ Por vacuidade temos que $\emptyset \in \tau$. Agora tome $a \in \mathbb{Z}$ e observe que $\forall z \in \mathbb{Z}$ e $\forall b \in \mathbb{N}$, $a + bz \in \mathbb{Z}$. Portanto $\mathbb{Z} \in \tau$. $ii)$ Sejam $A_1, A_2 \in \tau$. O caso em que $A_1 \cap A_2 = \emptyset$ segue do item anterior. Suponha $A_1 \cap A_2 \neq \emptyset$ e tome $x \in A_1 \cap A_2$. Temos que existem $b_1, b_2 \in \mathbb{N}$ tais que $\forall z \in \mathbb{Z}$, $x + b_1z \in A_1$ e $x + b_2z \in A_2$. To… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:therem-induc&rev=1604689511&do=diff Por absurdo suponha que $ X \neq Y $. Considere o conjunto bem ordenado $X \setminus Y \subset X$, então $ \exists x \in $ $X \setminus Y$ tal que $x \leq k, \forall k \in$ $ X\setminus Y$. Considere então o conjunto $ \{ a \in X : a < x \} $, como $x$ é o menor elemento em $ X \setminus Y$, elementos menores que ele só podem existir em Y. Portanto $ \{ a \in X: a < x \} \subset Y$, portanto $x \in Y$ da hipótese. Contradição. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:todaseqtemsubseqconvergente&rev=1604689511&do=diff Considere $(x_n)_{n\in\omega}$ sequência de pontos em $\omega$. Suponha que $X = \{x_{n}\}_{n \in \omega}$ seja um subconjunto infinito de $\omega$ (caso contrário, o resultado é imediato). Como $\mathcal F$ é uma família maximal, existe $F \in \mathcal F$, tal que $F \cap X$ é infinito. Defina o seguinte conjunto: $$ \{x_{n_i}:x_{n_i} \in F \cap X\}_{i \in \omega}$$ Considere a subsequência $(x_{n_i})_{i \in \omega}$. Seja $(x_{n_{i_k}})_{k \in \omega}$$(x_{n_i})_{i \in \omega}$$\{F\} \cup (F… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:todoevtembase&rev=1604689511&do=diff Considere $\leq$ uma Boa Ordem sobre o Espaço Vetorial $V$. Vamos definir o conjunto $B=\{v \in V: v \notin [\{w \in V: w < v\}]\}$ que será uma base para V. Precisamos provar que $B$ é Linearmente Independente e que $[B]=V$. ---------- * $B$ é Linearmente Independente: Para isso, suponha que $B$ não é LI e então tome $v_1, v_2, \ldots, v_n$$\in B$$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$$\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \ldots + \alpha_n v_n = 0$$v_1$$v_1=\frac{1}{\alpha_1}(\alpha_2v_2 + \ldots … text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:todofiltrotemultrafiltro&rev=1604689511&do=diff Seja $F$ um filtro sobre $A$ e $\mathcal{H}' = \{\mathcal {H}: \mathcal{H}$ é filtro e $F \subset \mathcal{H}\}$. Seja $S \subset \mathcal{H}'$ um subconjunto totalmente ordenado. Vamos mostrar que $H = \bigcup_{G \in S} G$ é limitante superior de $S$: Primeiro, afirmamos que $F \subset H$. De fato, seja $a \in F$ e $G \in S$. Como $F \subset G$, então $a \in S \Rightarrow a \in H$. Para termos $H \in \mathcal{H}'$ precisamos mostrar que $H$ é filtro: i) Seja $G \in S$$0 \notin G$$1 \in G$$… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:trasitive-set&rev=1604689511&do=diff $(\Longrightarrow)$ Como $X$ é transitivo, se $b \in X$ então $b \subset X$. Logo, se $a \in b$, como $b \subset X$ então $ a \in X$. $(\Longleftarrow)$ Da hipótese temos que para $ b \in X$ se $a \in b$, então $a \in X$. Da definição da relação de contenção “$\subset$”, temos $b \subset X$. text/html 2020-11-06T14:45:05+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:trigo&rev=1604684705&do=diff $\def\sen{\text{sen}}$ \[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to \sqrt{2}} (\cos^2(x)x^2 + \sen^2(x)x^2) & = & \lim\limits_{x \to \sqrt{2}} x^2(\cos^2(x) + \sen^2(x))\\ & = & 2 \cdot 1\\ & = & 2\\ \end{array}\] text/html 2020-11-06T14:45:05+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:trigo2&rev=1604684705&do=diff $\def\sen{\text{sen}}$ \[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\sen(x) + \cos(x^2)}{x^3} & = & \lim\limits_{x \to +\infty} (\sen(x) + \cos(x^2)) \frac{1}{x^3}\\ & = & 0\\ \end{array}\] Note que podemos fazer isso já que $-2 \leq \sen(x) + \cos(x^2) \leq 2$ (ou seja, é limitada). text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:uni-fechados&rev=1604689511&do=diff Seja $X \smallsetminus ( F \cup G ) = (F \cup G )^c = F^c \cap G^c$ das leis de Morgan. $F$ e $G$ são fechados, então $F^c$ e $G^c$ são abertos, portanto $X \smallsetminus ( F \cup G )$ é aberto, logo $F \cup G $ é fechado. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:uniao&rev=1604689511&do=diff Defina $\varphi(X, a) = X \cup \{a\}$. Vamos mostrar que tal função é sobrejetora. Seja $Y \in (A_n \cup A_{n+1})$. Temos dois casos: * Se $Y \in A_n$, então $Y = \{a_1, \ldots, a_n\}$. Seja $X = Y$ e $a = a_1$. Assim, $\varphi(X, a) = Y$. * Se $Y \in A_{n+1}$, então $Y = \{a_1, \ldots, a_{n+1}\}$. Seja $X = \{a_1, \ldots, a_n\}$ e $a = a_{n+1}$. Assim, $\varphi(X, a) = Y$. Fica assim provado que existe $\varphi$ sobrejetora. text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:vizi_bolaaberta&rev=1604689511&do=diff Primeiramente verifica-se que $ x \in V$, para todo $ V \in \mathcal V$, de fato, como $ x \in B_r(x)\subset V, x \in V$. Verificamos agora se $\mathcal V$ é um filtro sobre X. * Se $V \in \mathcal V$, $x \in V$ então $\emptyset \notin \mathcal V$. * Sejam $V_1, V_2 \in \mathcal V$, então $x \in V_1$ e $x \in V_2$, ou seja $x \in V_1 \cap V_2$. Existem $r, s > 0$ tais que $B_r(x)\subset V_1$ e $B_s(x)\subset V_2$, tomando $t=\min \{ r,s \}$, temos que $B_t(x) \subset B_r(x) \cap B_s(x)$, p… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:vizinhancailimitadanareta&rev=1604689511&do=diff Seja $x \in c \mathbb{R} \setminus \mathbb{R}$ e $A$ uma vizinhança de $x$, sem perdas podemos supor que $A$ uma vizinhança fechada. Suponha por absurdo que, $\mathbb{R} \cap A$ é um subconjunto de $\mathbb{R}$ limitado. Como $\mathbb{R} \cap A$ é um fechado de $\mathbb{R}$, e além disso limitado, então $\mathbb{R} \cap A$ é compacto e portanto fechado em $c \mathbb{R}$. Mas $A \setminus ( \mathbb{R} \cap A )$ é uma vizinhança de $x$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$c \mathbb{R}$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:vizinhancas&rev=1604689511&do=diff Para $\mathcal V$ ser um sistema de vizinhanças é preciso que seja um filtro sobre X e para todo $V \in \mathcal V$, $x \in V$. $x \in V$ para todo $V \in \mathcal V$ pela própria definição de $\mathcal V$. E para ser filtro sobre X $\mathcal V$ precisa satisfazer as seguintes condições: * $\emptyset \notin \mathcal V$; * se $A, B \in \mathcal V$ então $A \cap B \in \mathcal V$; * se $A \in \mathcal V$ e $A \subset B$, então $B \in \mathcal V$$V \in \mathcal V$$x \in V$$\emptyset \notin … text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:vnev2n2ganha&rev=1604689511&do=diff Seja $\sigma$ uma estratégia vencedora para o Jogador II. Vamos definir uma nova estratégia da seguinte forma: * na rodada $0$, ao receber $\mathcal V_0$, o Jogador II responde $\sigma(\mathcal V_0)$; * na rodada $1$, ao receber $\mathcal V_1$, o Jogador II responde qualquer aberto em $\mathcal V_1$; * na rodada $2$, ao receber $\mathcal V_2$$\sigma(\mathcal V_0, \mathcal V_2)$$2k$$\mathcal V_{2k}$$\sigma(\mathcal V_0, \mathcal V_2, \ldots, \mathcal V_{2k})$$2k + 1$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:x1isor&rev=1604689511&do=diff Seja $D \subset X$ denso enumerável. Vamos mostrar que $D$ satisfaz as hipóteses do exercício anterior. Suponha que $D$ admita um maior elemento (que denotaremos por $m$). Sejam $x_1, x_2 \in X$ tais que $m < x_1 < x_2$, que existem pois $X$ não possui um maior elemento. Note que, pela densidade da ordem, então $]x_1,x_2[ \neq \emptyset$$y \in ]x_1, x_2[ \cap D$$D$$m < y$$D$$D$$d_1, d_2 \in D$$d_1 < d_2$$]d_1, d_2[\cap D = \emptyset$$X$$]d_1, d_2[ \neq \emptyset$$d \in D$$d \in ]d_1, d_2[\cap D… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:x2isor&rev=1604689511&do=diff Vamos extender o isomorfismo $f: D \rightarrow \mathbb Q$ construído no item (1) dessa seção. Considere $F: X \rightarrow \mathbb R$ definida como $F(x) = \sup\{f(d): d \in D, d \leq x\}$. Sejam $x,y \in X$ com $x < y$. Da densidade de $D$ segue que existe $p \in D$ tal que $p \in ]x,y[$. Note que $F(x) < F(p)$ e que $F(p) < F(y)$, portanto $F(x) < F(y)$. Isso mostra que $F$ preserva a ordem e é injetora. Mostremos que é sobrejetora: $a \in \mathbb R$$x = sup\{d \in D: f(d) \leq a\}$$X$$F(x) =… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:xcompenumeravel2ganha&rev=1604689511&do=diff Para qualquer cobertura aberta $\mathcal{C}$ de $X$, deve existir $C \in \mathcal{C}$ tal que $a \in C$. Basta que o jogador $II$ escolha, na primeira rodada, tal cobertura. Note que $X \setminus C$ é enumerável, então, nas rodadas seguintes, basta proceder como no exercício 1 text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:xehsup&rev=1604689511&do=diff Seja $x \in X$ e $A =\{d \in D: d < x\}$. Temos que $A \neq \emptyset$, pois $X$ não possui um menor elemento. Note que $x$ é um majorante de $A$. Suponha que $x \neq \sup\{d \in D: d < x\}$. Então existe $y < x$ tal que $y = \sup\{d \in D: d < x\}$. Temos que $]y,x[$ é um aberto de $X$, portanto pela densidade da ordem existe $d' \in D$ tal que $y < d' < x$, portanto $d' \in A$, contradizendo $y$ ser o sup de $A$. Logo $x = \sup\{d \in D: d < x\}$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:xenumeravel2ganha&rev=1604689511&do=diff Como $X$ é enumerável, podemos escrever $X = \{x_n: n \in \omega\}$ e, portanto, é possível associar cada rodada $n \in \omega$ com um $\mathcal x_n$, para todo $\mathcal x_n \in X$. Logo, basta que o jogador II escolha $C_n \in \mathcal C_n$, tal que $\mathcal x_n \in C_n$, toda rodada. Assim $\bigcup_{n \in \omega} C_n$ será uma cobertura pois cada $\mathcal x_n$ pertencerá a pelo menos $C_n$ text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:xeysaobernstein&rev=1604689511&do=diff Dado um fechado não enumerável \(F\), temos \(F = F_{\xi}\) para algum \(\xi < \mathfrak c\). Logo, \(x_{\xi} \in X, y_{\xi} \in Y \implies F \cap X \neq \emptyset \neq F \cap Y\). Além disso, note que \(x_{\xi} \notin Y\) e \(y_{\xi} \notin X\), assim \(F \cap \mathbb R \backslash X \neq \emptyset \neq F \cap \mathbb R \backslash Y\). text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:xisoq&rev=1604689511&do=diff Sejam $\{x_n: n \in \omega\}$ e $\{q_n: n \in \omega\}$ enumerações para $X$ e $\mathbb Q$, respectivamente. Vamos construir um isomorfismo $f: X \rightarrow \mathbb Q$. Defina $f(x_0) = q_0$. Se $x_1 < x_0$, tome $n = min\{m \in \omega: q_m < q_0\}$, e se $x_1 > x_0$, tome $n = min\{m \in \omega: q_m > q_0\}$. Defina $f(x_1) = q_n$. Seguindo essa ideia, vamos definir $f$ por indução para todo $x_n \in X$: Suponha $f(x_0), f(x_1),\ldots, f(x_{n-1})$ definidos. Temos 3 casos possíveis para $x… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:xtopologia&rev=1604689511&do=diff Vamos mostrar que a definição anterior é de fato uma topologia. a)Para tanto precisamos garantir que $X, \varnothing \in \tau $. Como $\varnothing \subset \mathbb{R}, \varnothing$ é aberto. Agora tomamos $A$ como sendo $A = \mathbb{R}\cup {a}$, ou seja, $A = X$ então $X \smallsetminus A = \varnothing$, como vazio é enumerável temos $X \in \tau$. b)Queremos mostrar que $A \cap B$ é aberto, com $A,B$ abertos. Vamos separar em casos:$A,B \subset \mathbb{R}$$A \cap B \subset \mathbb{R}$$A \cap B… text/html 2020-11-06T16:05:11+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://sites.icmc.usp.br/aurichi/exerc/doku.php?id=solucao:xxxnaoccc&rev=1604689511&do=diff Sejam $(a_\xi)_{\xi \in \omega_1}$, $(b_\xi)_{\xi \in \omega_1}$ e $(c_\xi)_{\xi \omega_1}$ sequências de $X$ definidas como nos exercícios anteriores. Seja $\mathcal {F} = \{]a_\xi, b_\xi[ \times ]b_\xi, c_\xi[: \xi \in \omega_1\}$. Mostremos que $\mathcal {F}$ é uma família não enumerável com elementos dois a dois disjuntos: Pelo exercício anterior, segue que $\mathcal {F}$ é não enumerável. Pelo exercício anterior, se $\xi \neq \eta$$]a_\xi, b_\xi[ \cap ]a_\eta, b_\eta[ = \emptyset$$]b_\xi,…