Topologia e conjuntos em exercícios lista

lista:algebraboole

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-08T20:11:29+00:00

Álgebra de Boole Uma é um conjunto $A$, munido de duas operações binárias $+$ e $\cdot$ e uma unitária $-$ com dois elementos denotados por $0, 1 \in A$ tais que, para todo $a, b, c \in A$: * $a \cdot b = b \cdot a$ e $a + b = b + a$ * $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ e $a + (b + c) = (a + b) + c$ * $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ e $a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c)$ * $a \cdot (a + b) = a + (a \cdot b) = a$ * $a \cdot (-a) = 0$ e $a + (-a) = 1$ Norm…

lista:algebraboolecompleta

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-24T17:26:39+00:00

Álgebras de Boole Completas Seja $A$ uma álgebra de Boole. Dizemos que $A$ é uma álgebra de Boole completa se todo subconjunto de $A$ admite supremo. Seja $A$ uma álgebra de Boole completa. Fixadas $f, g: A \longrightarrow A$, e dado $X \subset A$. Mostre que $\sup_{x \in X} (f(x) + g(x)) = \sup_{x \in X} f(x) + \sup_{x \in X} g(x)$. Solução Seja $A$ uma álgebra de Boole completa e $X\subset A$$a \in X$$-\inf_{a \in X} a = \sup_{a \in X} -a$$A$$A$$A$$F: A \longrightarrow A$$X,Y \subset A$$\…

lista:aplicsubmodeloselementares

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-01-07T11:28:35+00:00

Algumas aplicações de Submodelos elementares Nesta lista consideraremos em todas as situações $H(\kappa)$ com $\kappa>\mathfrak c$ regular (mas você pode notar que não precisamos assumir $\kappa>\omega_2$ para alguns resultados!). Começamos com alguns resultados úteis de submodelos elementares de $H(\kappa)$$M\prec H(\kappa)$$\omega\in M$$\omega\subset M$$a\in M$$a$$a\subset M$$a \subset M$$a$$a\in M$$\mathcal{F}$$\Delta$$A,B\in\mathcal{F}$$A\cap B=\Delta$$\Delta$$\mathcal F$$M\prec H(\kappa)$…

lista:applma

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-02-01T16:17:33+00:00

Algumas aplicações do axioma de Martin Você provavelmente vai querer conhecer a lista do Axioma de Martin. Considere $\mathcal I = \{I_n: n \in \omega\}$ a coleção de todos os intervalos abertos de extremos racionais. Dado $I$ um intervalo de extremos reais, denotamos por $diam(I) = |a - b|$ onde $a, b$ são os extremos. Fixado $\varepsilon > 0$$(x_n)_{n \in \omega}$$\sum_{n = 0}^\infty x_n = \varepsilon$$\mathbb P_{\varepsilon} = \{f \in Fn(\omega, \omega): diam(I_{f(n)}) < x_n$$n \in \omega…

lista:aquecimentoma

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-01-28T14:11:24+00:00

Aquecimento para o Axioma de Martin É melhor você já ter feito a lista do Axioma de Martin. O resultado desta lista não necessita de qualquer axioma extra a ZFC - inclusive existem demonstrações mais elementares do que a apresentada aqui. Mas a forma apresentada é um bom aquecimento para o uso do Axioma de Martin.$\leq$$X$$a < b \in X$$c$$a < c$$c < b$$D$$\mathbb P$$\mathbb Q$$\mathbb R$$\mathbb Z$$\mathbb N$$(X, \leq)$$(Y, \preceq)$$f: X \to Y$$f$$a, b \in X$$a \leq b$$f(a) \preceq f(b)$$\mat…

lista:aronszajn

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-22T17:26:04+00:00

Árvore de Aronszajn $\def\dom{\text{dom}}$ Provavelmente você vai querer ter feito a lista de árvores antes desta. Durante toda esta lista, $T$ denota uma árvore satisfazendo * $\emptyset \in T$; * cada $t \in T$ é uma função estritamente crescente em $\mathbb Q$; * se $t \in T$, então $\{t^\smallfrown q: q \in \mathbb Q$ e $\forall x \in \dom(t) \ q > t(x)\} \subset T$. Em $T$, dizemos que $t \leq s$$t \subset s$$T$$h(T) \geq \omega$$R \subset T$$\bigcup_{t \in R} t$$\alpha$$\mathb…

lista:arvores

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-11T13:48:35+00:00

Árvores Provavelmente é melhor fazer a lista de boa ordem antes desta. Um conjunto $\langle T, \leq \rangle$ ordenado é dito uma se, para todo $t \in T$ o conjunto $\{s \in T: s \leq t\}$ é bem ordenado. Seja $\langle T, \leq \rangle$ uma árvore e sejam $p, q \in T$ distintos. Mostre que são equivalentes: * $p$ e $q$ são incomparáveis; * não existe $r \in T$$p, q \leq r$$\omega^{<\omega} = \bigcup_{n \in \omega}\omega^n$$\langle T, \leq \rangle$$R \subset T$$\langle T, \leq \rangle$$p …

lista:aumentando_o_universo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-07T09:35:37+00:00

Aumentando o universo Seja $x$ um conjunto. Definimos o $\check{x}$ de maneira recursiva da seguinte forma: $$ \check{x} = \{(\check{y},1) : y \in x\} $$ Observe que: * $\check{\emptyset}=\emptyset$; * Se $x \in y$, então $\check{x} \in \text{dom}(\check{y})$. Começamos com algumas propriedades úteis de conjuntos e nomes. Sejam $x,y$ conjuntos, mostre que: Dica Se $x \in y$, então $[\![ \check{x} \in \check{y} ]\!]= 1$$x \notin y$$[\![ \check{x} \in \check{y} ]\!]= 0$$x \subseteq …

lista:axiomasseparacao

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Axiomas de separação Só a definição de topologia não garante uma “riqueza” de abertos (por exemplo, podemos ter sobre qualquer $X$ a topologia que só contém como abertos o espaço todo e $\emptyset$. Os axiomas nesta lista garantem a existência de determinados abertos.$(X, \tau)$$x, y \in X$$A$$x \in A$$y \notin A$$x \notin A$$y \in A$$T_0$$T_0$$T_0$$T_0$$(X, \tau)$$x, y \in X$$A$$x \in A$$y \notin A$$T_1$$T_0$$T_0$$T_1$$(X, \tau)$$T_1$$x \in X$$\{x\}$$T_1$$T_1$$T_1$$(X, \tau)$$x, y \in X$$A$$B$…

lista:axsepaxpart

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-30T15:17:11+00:00

Axioma da Separação e Axioma das Partes Relembrando: * Sejam $x, y$ nomes. Definimos: * $\displaystyle [\![ x \in y ]\!] = \sup_{t \in \text{dom}(y)}y(t)[\![ x = t ]\!]$ * $\displaystyle [\![ x \subset y ]\!] = \inf_{t \in \text{dom}(x)} (x(t) \Rightarrow [\![ t \in y ]\!])$ * $[\![ x = y ]\!] = [\![ x \subset y ]\!] [\![ y \subset x ]\!]$ * Vamos usar a seguinte notação para $a, b \in B$: $a \Rightarrow b = -a + b$. O próximo exercício ajuda com a entender a sub…

lista:baker

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-08T10:39:13+00:00

Jogo de Baker Seja $X \subset \mathbb R$ um conjunto não vazio. Considere o seguinte jogo entre Alice e Beto: Alice começa jogando $a_0 \in \mathbb R$, então Beto escolhe $b_0 \in \mathbb R$ com $b_0 > a_0$. Na rodada $n + 1$: * Alice joga $a_{n + 1} \in \mathbb R$ de forma que $a_n < a_{n + 1} < b_n$; * Beto joga $b_{n + 1} \in \mathbb R$ de forma que $a_{n + 1} < b_{n + 1} < b_n$. Alice vence o jogo se $\lim\limits_{n \to \infty} a_n \in X$ e Beto vence caso contrário.$\lim\limits_{n \…

lista:bases

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Bases Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $\mathcal B \subset \tau$ é uma para $X$ se, para qualquer $A$ aberto e qualquer $x \in A$, existe $B \in \mathcal B$ tal que $x \in B \subset A$. Mostre que $\mathcal B = \{]a, b[: a, b \in \mathbb Q\}$ é uma base para $\mathbb R$ (com a topologia usual). Mostre que uma família de abertos $\mathcal B$ é uma base se, e somente se, para todo aberto $A$$\mathcal B' \subset \mathcal B$$A = \bigcup_{B \in \mathcal B'} B$$X$$\mathcal B$$…

lista:basico

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Grafos - Definição e exemplos básicos Um grafo é um par de conjuntos $G = (V, A)$ onde os elementos de $V$ são chamados de vértices e os elementos de $A$ são pares de elementos de $V$ (este par pode ou não ser ordenado). Os elemetos de $A$ são chamados de arestas. Quando os elementos de $A$$G$$V_G$$A_G$$v, w$$\{v, w\}$$v$$N(v) = \{w: w$$v\}$$N$$g(v) = |N(v)|$$v$$G$$\delta(G) = \min\{d(v): v \in V_G\}$$\Delta(G) = \max\{d(v): v \in V_G\}$$v$$w$$G$$n$$K_n$$K_n$$G$$G = (V,A)$$\bar{G} = (V,A')$$\{x…

lista:berstein

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-20T17:39:33+00:00

Conjuntos de Bernstein Dizemos que $X \subset \mathbb R$ é um se $X$ é não enumerável e, para todo $F \subset \mathbb R$ fechado e não enumerável, temos que $F \cap X \neq \emptyset$ e $F \cap (\mathbb R \setminus X) \neq \emptyset$. Seja $A \subset \mathbb R$ não enumerável. Mostre que existe $x \in \mathbb R$ tal que $]-\infty, x[ \cap A$ e $]x, +\infty[$ são ambos não enumeráveis. Dica Mostre que existem $a < b$ tais que $]-\infty, a] \cap A$ e $[b, +\infty[ \cap A$$F \subset \mathb…

lista:betaomega

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-01-06T09:55:48+00:00

$\beta\omega$ como espaço dos ultrafiltros em $\omega$ Você provavelmente vai precisar de alguns conceitos básicos de Topologia e alguns conhecimentos sobre ultrafiltros. O conjunto $\beta\omega$ é definido como $\beta\omega \doteq \{p \subseteq \wp(\omega) : p \text{ é ultrafiltro em } \omega\}$. Esse é um roteiro para construir uma base para uma topologia em $\beta\omega$$A \subseteq \omega$$\bar{A} \doteq \{p \in \beta\omega : A \in p\}$$p \in \bar{A}$$A \in p$$A,B \subseteq \omega$$\bar{…

lista:bipartidos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Grafos Bipartidos Algumas definições e alguns resultados das listas de conexidade e de árvores serão utilizados. Dizemos que um grafo $G = (V,A)$ é um grafo bipartido se existirem $V_1,V_2\subset V$ tais que $V = V_1 \cup V_2$, $V_1\cap V_2 = \emptyset$ e, dada $\{a,b\}\in A$ uma aresta, tem-se que $a\in V_1$ e $b \in V_2$ ou $b\in V_1$ e $a \in V_2$. Nesse caso, $\{V_1,V_2\}$ é chamada bipartição$G$$G = (V,A)$$\{V_1,V_2\}$$\{V_1',V_2'\}$$G$$V_1 = V_1'$$V_2 = V_2'$$V_1 = V_2'$$V_2 = V_1'$$G =…

lista:bmbaire

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-10-13T16:05:27+00:00

Jogo de Banach-Mazur e espaços de Baire Dizemos que um espaço topológico $(X, \tau)$ é um se qualquer intersecção enumerável de abertos densos em $X$ é densa em $X$. Seja $X$ um espaço de Baire. Mostre que todo aberto $U\subset X$ não vazio é um espaço de Baire. Solução $(X, \tau)$$U_0 \in\tau$$V_0 \in \tau$$V_0\subset U_0$$n \in \omega$$U_n \in\tau$$U_n\subset V_{n-1}$$V_n \in \tau$$V_n\subset U_n$$\bigcap_{n \in \omega} V_n\neq \emptyset$$BM(X)$$BM(X)$$\bigcap_{n \in \omega} U_n\neq \emp…

lista:bmcantor

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Jogo de Banach-Mazur e conjuntos de Cantor Provavelmente é melhor você ter feito essas listas antes: lista de jogos de Banach-Mazur e espaços de Baire e lista de conjuntos de cantor. Este é um roteiro para provar que todo espaço métrico sem pontos isolados onde o Jogador II tem estratégia vencedora no Jogo de Banach-Mazur contém um subespaço homeomorfo ao conjunto de Cantor. $(X,d)$$\sigma$$X$$\mathcal{U}=\{U_s : s\in 2^{<\omega}\}$$X$$U_{s}$$diam(U_{s})\leq\frac{d}{2^{|s|}}$$s\in 2^{<\o…

lista:bmproduto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Jogo de Banach-Mazur e produto de espaços de Baire Sejam $X$ e $Y$ espaços onde o Jogador II tem estratégia vencedora no Jogo de Banach-Mazur. Mostre que então o Jogador II tem estratégia vencedora no Jogo de Banach-Mazur sobre $X \times Y$.Solução Suponha que $X$ é um espaço onde o Jogador II tem estratégia vencedora $\rho$$Y$$X \times Y$$\sigma$$X \times Y$$\sigma$$\sigma$$X \times Y$$\varphi$$Y$$\rho$$X_\xi$$\xi \in \kappa$$\square_{\xi \in \kappa} X_\xi$$X$$\square_{\xi \in \kappa} X$$\k…

lista:boaordem

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-24T14:14:53+00:00

Boa ordem Dada $\leq$ uma ordem sobre $X$, dizemos que $\leq$ é uma se, dado qualquer $A \subset X$ não vazio, existe $a \in A$ tal que $a = \min A$, isto é, $a \leq b$ para todo $b \in A$. Mostre que toda boa ordem é total (isto é, dados dois elementos eles são comparáveis).Solução Mostre que todo conjunto limitado superiormente num conjunto bem ordenado admite supremo.$(X, \leq)$$X$$X$$(x_n)_{n \in \omega}$$X$$x_{n + 1} < x_n$$n$$\omega \cup \{\omega\}$$\omega$$n < \omega$$n \in \omega$…

lista:booleformulas

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-30T11:48:23+00:00

Álgebras de Boole e valoração de fórmulas Antes de fazer esta lista, é melhor você fazer a lista de Álgebras de Boole. No decorrer de toda esta lista vamos supor fixada uma álgebra de Boole $(\mathcal{A},+,\cdot,-)$. Denotaremos o valor booleano de uma fórmula $\varphi$ por $[\![\varphi]\!]$. Um conjunto $x$ é um $x$$ \mathcal{A} $$V_{\alpha}$\[V^{\mathcal{A}}_0 = \emptyset\]\[ V^{\mathcal{A}}_{\alpha} = \{x \, | \, x \text{ é função, Im}(x) \subset \mathcal{A} \text{ e } \exis…

lista:boundexistencestep

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

$ \phi $ é da forma $ \exists x\in t \psi $, com o teorema verdadeiro para $ \psi $. Suponha $ \mathcal{M} \models \phi [\alpha] $ então existe $ a \in M $ com \[ \mathcal{M} \models x \in t \land \psi [\alpha^{x}_{a}] \implies \mathcal{M} \models x \in t [\alpha^{x}_{a}] \implies a \overset{\text{meta}}{\in} \alpha(t) \overset{\text{meta}}{\in} N \] mas $ N $ é transitivo, então $ a \overset{\text{meta}}{\in} N $. Como também temos $ \mathcal{M} \models \psi[\alpha^{x}_{a}] $, da induçã…

lista:caminhosciclos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Caminhos e ciclos Um caminho é uma sequência $\langle v_1, \ldots, v_n\rangle$ de vértices onde cada $\{v_i, v_{i + 1}\}$ é uma aresta (todas as arestas são distintas). Um caminho é dito simples se cada vértice aparece no máximo uma vez. O comprimento de um caminho é a quantidade de arestas deles (ou seja, $n$$G$$\delta(G)$$\langle v_1, \ldots, v_n, v_{n + 1}\rangle$$v_{n + 1} = v_1$

lista:cantor

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Conjunto de Cantor Provavelmente é melhor você já ter feito a lista de compactos e a de produtos infinitos. Considere $K_\emptyset = [0, 1]$. Suponha definido $K_s = [a, b]$ para $s \in 2^{<\omega}$. Defina $K_{s \smallfrown 0} = [a, \frac{b - a}{3}]$ e $[b - \frac{b - a}{3}, b]$. Faça um desenho do que é cada $K_s$. Calcule o comprimento de $K_s$ em função do comprimento de $|s|$ (comprimento de $s$).$s$$t$$K_s \cap K_t = \emptyset$$K_s \subset K_t$$s \supset t$$n \in \omega$$K^n = \big…

lista:cauchycompletude

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Sequências de Cauchy e completude Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de sequências. Seja $(X, d)$ espaço métrico. Dizemos que uma sequência $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ é uma se, para todo $\varepsilon \in \mathbb R_{>0}$ existe $n_0 \in \mathbb N$ tal que, se $m, n \geq n_0$ então $d(x_n, x_m) < \varepsilon$. Mostre que toda sequência convergente é uma sequência de Cauchy.$(x_n)_{n \in \omega}$$\{x_n: n \in \omega\}$$\varepsilon > 0$$n_0$$n > n_0$$d(x_n, x_{n + 1}) < …

lista:chr2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

CH e $\mathbb R^2$ Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de boa ordem. () é a afirmação: existe $\preceq$ uma boa ordem sobre $\mathbb R$ tal que, para todo $x \in \mathbb R$, $\{y \in \mathbb R: y \preceq x\}$ é enumerável. Considere $X \subset \mathbb R^2$. Denotamos, dado $y \in \mathbb R$, $H(A, y) = \{x \in \mathbb R: (x, y) \in A\}$. Analogamente, dado $y \in \mathbb R$, denotamos por $V(A, x) = \{y \in \mathbb R: (x, y) \in A\}$. Suponha CH. Então existe um con…

lista:coberturacirculos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-02-08T17:52:46+00:00

Coberturas por círculos Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de métricos completos e da lista de boa ordem. Mostre que não existe uma família $\mathcal F$ de círculos disjuntos em $\mathbb R^2$ de forma que $\bigcup_{C \in \mathcal F} C = \mathbb R^2$.Solução Mostre que não existe uma família $\mathcal F$ de esferas disjuntas em $\mathbb R^3$ de forma que $\bigcup_{C \in \mathcal F} C = \mathbb R^3$.Solução $\mathcal F$$\mathbb R^2 \smallsetminus \{(0, 0)\}$$\bigcup…

lista:cofinalidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-09-29T15:35:31+00:00

Dado $X$ ordenado por $\leq$, $A \subset X$ é cofinal em $X$ se, para todo $x \in X$, existe $a \in A$ tal que $x \leq a$. Seja $X$ ordenado, a cofinalidade de $X$ é o menor cardinal $k$ tal que existe $A \subset X$ com $A$ confinal em $X$ e $|A| = k$. Denotamos por $cf(X) = k$. Mostre que $cf(\mathbb R) = \aleph_0$. Solução Dado $X$ um conjunto ordenado e $k$ cardinal, $f: k \longrightarrow X$ é uma função cofinal se sua imagem é cofinal em $X$$cf(X) = k$$k$$\alpha$$cf(\alpha) = k$$f: k \l…

lista:coloracaoinfinitos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Uma coloração estranha sobre subconjuntos infinitos de $\omega$ Considere a relação sobre subconjuntos de $\omega$ dada por $A \equiv B$ se, e somente se, $A \Delta B$ é finito. Note que $\equiv$ é uma relação de equivalência. Para cada classe de equivalência $[X]$ desta relação, fixe $f([X])$$X \Delta f([X])$$X$$X$$f: X \rightarrow \{0, \ldots, n - 1\}$$f(a)$$a \in X$$2$$[\omega]^\omega$$\omega$$X \subset \omega$$A, B \subset X$$A$$B$

lista:compacidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Teorema da Compacidade Esta lista é um roteiro para provar um resultado bastante importante em lógica de primeira ordem, o Teorema da Compacidade: Todo conjunto finitamente modelável de fórmulas é modelável Dizemos que um conjunto $\Sigma$ de sentenças é modelável se existe $\mathcal{M}$$\mathcal{M} \models \Sigma$$\Sigma$$\Sigma$$\Sigma$$\Delta$$\varphi, \psi$$\Delta$$\Delta \models \varphi, \, \Delta \subset \Sigma \Rightarrow \varphi \in \Sigma$$\varphi \in \Sigma$$\Sigma \models \varphi$$…

lista:compactificacoesr

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Algumas compactificações de $\mathbb R$ Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico de Hausdorff. Dizemos que $cX$ é uma de $X$ se $cX$ é de Hausdorff, $\overline X = cX$ e $cX$ é compacto. Mostre que existe uma compactificação $c\mathbb R$ para $\mathbb R$ tal que $c \mathbb R \setminus \mathbb R$ é unitário.Dica Solução Mostre que a compactificação do exercício anterior é homeomorfa ao conjunto $\{(x, y) \in \mathbb R^2: x^2 + y^2 = 1\}$$c\mathbb R$$\mathbb R$$c\mathbb R \setminus \mathbb R$$…

lista:compactos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Compactos Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $\mathcal C$ é uma para $X$ se $\bigcup_{C \in \mathcal C} C = X$. Dizemos que uma cobertura $\mathcal C$ é uma se cada elemento de $\mathcal C$ é aberto. Dizemos que $\mathcal C' \subset \mathcal C$ é uma de $\mathcal C$ se $\mathcal C$ também é uma cobertura. Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Dizemos que $X$ é compacto se para toda cobertura aberta $\mathcal C$$(X, \tau)$$\mathcal B$$X$$X$$\mathcal C$$C \in \mathcal C$$C \in \…

lista:compactosxmetricos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Compactos $\times$ Métricos Nessa lista, trataremos principalmente de compactos em espaços métricos. Para resolver os exercícios, considere a topologia analisada como sendo a induzida pela métrica dada. Serão úteis os conceitos das listas de $(X, d)$$X$$(X, d)$$X$$X$$(X, d)$$X$$\mathcal{C}$$X$$r > 0$$x \in X$$C \in \mathcal{C}$$B_{r}(x) \subset C$$(X, d)$$X$$X$$(X,d)$$X$$X$$X$$(X,d)$$A \subset X$$\epsilon > 0$$F \subset A$$A \subset \bigcup_{x \in F} B_{\epsilon}(x)$$(X, d)$$X$$Y \subset X$$(X…

lista:compatificacoesr

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico de Hausdorff. Dizemos que $cX$ é uma de $X$ se $cX$ é de Hausdorff, $\overline X = cX$ e $cX$ é compacto. Mostre que existe uma compactificação $c\mathbb R$ para $\mathbb R$ tal que $c \mathbb R \setminus \mathbb R$ é unitário.Dica Mostre que a compactificação do exercício anterior é homeomorfa ao conjunto $\{(x, y) \in \mathbb R^2: x^2 + y^2 = 1\}$$c\mathbb R$$\mathbb R$$c\mathbb R \setminus \mathbb R$$[0, 1]$$c\mathbb R$$\mathbb R$$x \in c \mathbb R \…

lista:conexidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Conexidade Fazer a lista de caminhos e ciclos pode ajudar. Dizemos que um grafo $G = (V,A)$ é conexo se, dados $x,y\in V$ vértices do grafo, existir um caminho $\langle v_1,v_2,\dots,v_n\rangle$ de $G$ com $v_1=x$ e $v_2=y$. Nessas condições, dizemos que $\langle v_1,v_2,\dots,v_n\rangle$ conecta ou liga os vértices $x$ e $y$. O comprimento do menor caminho ligando esses dois vértices é dito ser a $x$$y$$d(x,y)$$x=y$$d(x,y)=0$$x,y \in V$$G$$d(x,y) = \infty$$n$$K_n$$G$$\delta(G) = 1$$\Delta(G) …

lista:conjuntionandnegationstep

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Seja $ \phi $ da forma $ \psi_{1} \land \psi_{2} $ com o teorema válido para $ \psi_{1},\psi_{2} $, se $ \mathcal{M} \models \phi $ então $ \mathcal{M} \models \psi_{i}, i = 1,2 $ então $ \mathcal{N} \models \psi_{i}, i = 1,2 $ mas então $ \mathcal{N} \models \phi $. Análogo para a composição $ \neg $.

lista:consistenciadech

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-18T17:19:52+00:00

Forcing enumeravelmente fechado e a consistência de CH Dizemos que um forcing $\mathbb P$ é se, dada uma sequência $\langle p_{n} : n\in\omega\rangle$ de elementos de $\mathbb P$ tal que $p_{n+1}\leq p_{n}$ para todo $n\in\omega$, existe $p\in\mathbb P$ tal que $p\leq p_{n}$ para todo $n\in\omega$. Este é um roteiro para mostrar que se $\mathbb P$ é um forcing enumeravelmente fechado, $A$$\dot{f}$$p \Vdash \dot{f} : \check{\omega}\to\check{A}$$p\in\mathbb P$$f:\omega\to A$$q\leq p$$q \Vdash …

lista:consistencianaosuslin

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-09-13T10:46:42+00:00

A consistência de $\neg$SH A lista a seguir trata da Hipótese de Suslin. Para mais informações, consulte a lista a respeito, mas esta lista define tudo o que é necessário. Definições: * Uma Reta de Suslin é um conjunto totalmente ordenado por uma ordem densa, completa, sem máximo e mínimo e $ccc$$\omega_1$$ccc$$\textbf{SH} \Leftrightarrow$$\mathbb{P}$$T$$\omega_1$$t \in T$$t: \alpha \rightarrow \omega$$\alpha$$T$$T \in \mathbb{P}$$\alpha$$\forall t \in T \,\, h(t)<\alpha \Rightarrow t ^\s…

lista:corpodeconjuntos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Corpo de Conjuntos Provavelmente você vai querer olhar a lista de álgebra de Boole antes desta. Dada uma álgebra de Boole $A$, dizemos que $B$ é uma de $A$ se $0, 1 \in B$ e $B$ com as operações induzidas por $A$ é uma álgebra de Boole. Mostre que, dada uma álgebra de Boole $A$, $B \subset A$ é uma subálgebra se, e somente se, $B \neq \emptyset$$B$$A$$\mathcal A \subset \wp(X)$$X$$\cup, \cap, \smallsetminus$$X$$= \{A \subset X: A$$X \smallsetminus A$$\}$$X$$FinCofin(X)$$(X, \tau)$$\mathcal …

lista:deforcing

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-30T15:24:14+00:00

A definição de Forcing Chamamos uma ordem $\mathbb{P}$ de um forcing se existe $1 \in \mathbb{P}$ tal que $1 \geq p$ para todo $p \in \mathbb{P}$ e, para todo $p,q \in \mathbb{P}$ tais que $q \not \leq p$, existe $p' \leq q$ tal que $p' \perp p.$ Dado $p \in \mathbb{P}$, considere $\downarrow p = \{q \in \mathbb{P}: q \leq p \}$. Se $\mathbb{P}$ possui um menor elemento, então $\mathbb{P}$ é unitária. O conjunto $\{ \downarrow p: p \in \mathbb{P} \}$ forma uma base para uma topologia sobre…

lista:deltasistema

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-01-26T14:30:56+00:00

Lema do $\Delta$-sistema Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de enumerabilidade e da lista de boa ordem. Seja $\mathcal F$ uma família de conjuntos. Dizemos que $\mathcal F$ forma um de raiz $\Delta$ se, para todo $F, G \in \mathcal F$ distintos, temos que $F \cap G = \Delta$. Seja $\mathcal F$ uma família de conjuntos. Mostre que são equivalentes:$\mathcal F$$\Delta$$A, B \in \mathcal F$$a \in A \cap B$$a \in F$$F \in \mathcal F$$\mathcal F$$n \in \omega$$\mathcal F…

lista:densos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Densos Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $D \subset X$ é se, para todo aberto $A \neq \emptyset$, temos que $D \cap A \neq \emptyset$. Mostre que $\mathbb Q$ é denso em $\mathbb R$. Sejam $X$ espaço topológico, $\mathcal B$ base para $X$ e $D \subset X$. Mostre que $D$ é denso se, e somente se, para todo $B \in \mathcal B$ não vazio temos que $D \cap B \neq \emptyset$. Dê um exemplo de um espaço topológico $(X, \tau)$$A$$B$$A \cap B = \emptyset$$(X, \tau)$$X$$X$$X$$(X,…

lista:densosbases

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Densos $\times$ bases Como o nome sugere, provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de densos e da lista de bases. A lista de enumerabilidade pode ajudar em alguns exercícios também. Mostre que se $(X, \tau)$ tem base enumerável, então $X$ é separável.DicaSolução Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Seja $Y$ denso em $X$$Y$$X$$(X, d)$$X$$X$$(X, \tau)$$Y \subset X$$Y$$P = \{(x, y) \in \mathbb R^2: y \geq 0\}$$P$$(x, y)$$y > 0$$(x, y)$$(x, y)$$(x, 0) \in P$$(x, 0)$$B_r((x, r))…

lista:densosbasesprodutos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Densos, bases e produtos Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de densos $\times$ bases e da lista de produtos infinitos. Para cada $n \in \omega$, seja $(X_n, \tau_n)$ espaço topológico. Se cada $X_n$ tem base enumerável, mostre que $\prod_{n \in \omega} X_n$ tem base enumerável. Este é um roteiro para mostrar que $\prod_{a \in A} \omega$ é separável, se $|A| \leq \mathfrak c = |\mathbb R|$$\omega$$A \subset \mathbb R$$\mathcal B_0 = \{]p, q[ \cap A: p, q \in \mathbb Q…

lista:diamante

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-18T17:19:24+00:00

A consistência do Princípio $\Diamond$ Seja $\alpha$ ordinal e seja $F\subseteq\alpha$. Dizemos que $F$ é um se $F$ é fechado (na topología da ordem em $\alpha$) e ilimitado. Dizemos que $S\subseteq\alpha$ é se, para todo $F$ club temos $F\cap S\not=\emptyset$. Seja $S\subseteq\omega_{1}$ estacionário. Se $\alpha\in\omega_{1}$ mostre que $\omega_{1}\setminus\alpha$ é um club em $\omega_{1}$. $S$$\langle A_{\xi} : \xi <\omega_{1} \rangle $$A_{\xi}\subseteq \xi$$\forall \xi\in\om…

lista:dispersos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Espaços dispersos Dizemos que um espaço topológico $(X, \tau)$ é se todo subespaço $Y \subset X$ não vazio contém um ponto isolado (em $Y$). Mostre que $\{\frac{1}{n}: n \in \mathbb N_{>0}\} \cup \{0\}$ (com a topologia usual) é disperso. Mostre que $X$ é disperso se, e somente se, todo subespaço fechado não vazio de $X$$(X, \tau)$$X$$X'$$X$$X^{(0)} = X$$X^{(1)} = X'$$\alpha = \beta + 1$$\alpha$$X^{(\alpha)} = (X^{(\beta)})'$$\alpha$$X^{(\alpha)} = \bigcap_{\beta < \alpha} X^{(\beta)}$$X$$…

lista:dominante

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-25T22:55:26+00:00

Famílias dominantes e famílias ilimitadas Denotamos por o conjunto de todas as funções $f: B \rightarrow A$. Denotamos por $\omega$ o conjunto dos naturais. Sejam $f, g \in \omega^\omega$. Dizemos que $f \leq^* g$ se $\{n \in \omega: f(n) > g(n)\}$ é finito. Mostre que são equivalentes: $f \leq^* g$ e existe $n_0$ tal que, para todo $n \geq n_0$, $f(n) \leq g(n)$.Solução Dizemos que $\preceq$$X$$a, b, c \in X$$a \preceq a$$a \preceq b$$b \preceq c$$a \preceq c$$\leq^*$$f, g \in \omega^\o…

lista:dualidadestone

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Dualidade de Stone Provavelmente você vai querer olhar esta lista antes e ter feitos algumas listas básicas de topologia. Seja $A$ uma álgebra de Boole. Considere $B = \{a^*: a \in A\}$. Mostre que $B$ é uma base para uma topologia sobre $Ult(A)$. Este é chamado de de $A$. Neste caso, denotamos $Ult(A)$$A$$A$$\mathcal C = \{a^*_i: i \in I\}$$\mathcal C$$\mathcal F = \{-a_i: i \in I\}$$\mathcal C$$V$$A$$a_V \in A$$V = a_V^*$$(X, \tau)$$X$$X$$(X, \tau)$$X$$X$$0$$T_1$$A$$A$$(x, \tau)$$\{V \su…

lista:ehrenfeucht

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Essa lista pressupõe um conhecimento básico sobre modelos. Talvez seja interessante ver a seguinte lista. O Jogo de Ehrenfeucht Dadas $L$ e $L'$ vocabulários, dizemos que $L'$ é uma expansão de $L$ se $L \subset L'$. Se $L' \setminus L$ consiste apenas de símbolos de constantes, dizemos que $L'$$L$$\mathcal{A}$$L$$\mathcal{B}$$L'$$A=B$$\mathcal{B}$$L'$$\mathcal{A}$$\mathcal{A}$$L$$L'=L \cup \{\textbf{c}_1,\textbf{c}_2,\ldots,\textbf{c}_n\}$$\mathcal{A}$$\textbf{c}_i$$a_i$$\left( \mathcal{A},…

lista:enumerabilidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Enumerabilidade Denotamos por $\omega$ o conjunto dos números naturais. Dizemos que um conjunto $X$ é se existe $f: \omega \rightarrow X$ sobrejetora. Mostre que $\omega \times \omega$ é enumerável.DicaSolução Mostre que $X$ é enumerável se, e somente se, podemos escrever $X = \{x_n: n \in \omega\}$. Solução Mostre que, se $A$ é enumerável e $B \subset A$$B$$X$$f: X \to Y$$Y$$A$$B$$A \times B$$\omega^n$$n \in \omega$$n > 0$$A_n$$\bigcup_{n \in \omega} A_n$$2^\omega$$\omega$$\{0, 1\}$$2^…

lista:enumeravelmentecompactos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Enumeravelmente compactos Dizemos que $(X, \tau)$ é se toda cobertura aberta enumerável admite subcobertura finita. Mostre que $X$ é compacto se, e somente se, $X$ é de Lindelöf e enumeravelmente compacto.Solução Seja $X$ enumeravelmente compacto. Mostre que se $F \subset X$ é fechado, então $F$$X$$T_1$$X$$X$$(X, \tau)$$f: X \rightarrow \mathbb R$$f[X]$$X$$X$$X$

lista:eqt1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Suponha que $X$ é $T_1$ e fixe $x\in X$. Como os espaço é $T_1$, para todo $y\in X$ diferente de $x$, conseguimos um aberto $U_y$ tal que $x \not\in U_y$. Mas então, temos que $y\not\in \overline{\{x\}}$. Como isso vale para todo elemento $y$ diferente de $x$, temos que $\overline{\{x\}}=\{x\}$, ou seja, $\{x\}$ é fechado. Reciprocamente, se $\{x\}$ é fechado para todo $x\in X$$X \backslash \{x\}$$x$$y\in X$$x$$T_1$

lista:esquemasconjuntos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Esquemas de Conjuntos Vamos precisar do Lema de König da lista sobre árvores. Esta lista é sobre uma técnica tacitamente empregada com frequência em várias outras listas, será rápido e fácil! Considere sempre que $T$ é uma boa árvore, como árvores de sequências finitas $A^{<\omega}$$A \neq \emptyset$$X$$\mathcal{F}\neq \emptyset$$X$$T$$T$$T$$f:T \to \mathcal{F}$$t \mapsto A_t$$T$$f$$\bigcap_{t < \alpha} f(t)$$t<\alpha$$t \in \alpha$$\alpha \upharpoonright n = t$$r$$T$$\bigcup_{r \in Lev(k)}f(r)…

lista:esquemastopologicos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

A hipótese do Contínuo e uma Caracterização do Espaço de Cantor Precisamos apenas das definições básicas da lista sobre esquemas e de alguns resultados da lista sobre completude Fixemos $X$ metrizável, e $ f:A^{<\omega} \to \mathcal{P}(X) $ um esquema regular. * Dizemos que $ f $ é de Souslin se $ f $ é tal que $ \mathrm{diam}(f(\alpha \upharpoonright n)) \to 0 $$ f $$ s \perp t \implies f(s) \cap f(t) = \emptyset $$ A = 2 $$f$$X$$f$$T \subset A^{<\omega}$$f \neq \emptyset$$t \in T$$t$$T$$A…

lista:estranhosr_n

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Conjuntos estranhos em $\mathbb R^n$ Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de boa ordem. Mostre que $\mathbb R^3 \smallsetminus \mathbb Q^3$ é uma união de retas disjuntas.DicaSolução Mostre que existe $A \subset \mathbb R^2$ tal que, para toda reta $r \subset \mathbb R^2$, temos que $r \cap A$ tem exatamente dois pontos.DicaSolução Este é um roteiro para construir uma função cujo gráfico é bem estranho.$|\mathcal F| = \mathfrak c$$\mathcal F = \{]a, b[ \times \{y\}: …

lista:fechadosacumulacao

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Fechados e pontos de acumulação Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $F \subset X$ é um se $X \smallsetminus F$ é aberto. Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Mostre que $\emptyset$ e $X$ são fechados. Mostre que, se $F$ e $G$ são fechados, então $F \cup G$ é fechado.Solução Mostre que, se $\mathcal F$ é uma família não vazia de fechados, então $\bigcap_{F \in \mathcal F} F$$(X, \tau)$$Y \subset X$$x \in X$$x$$Y$$A$$x \in A$$A \cap Y \neq \emptyset$$\mathbb R$$[0, 1[$$\{1…

lista:forcingccc

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-18T15:00:01+00:00

Forcing ccc e preservação de cardinais Dizemos que um subconjunto $D$ de um conjunto parcialmente ordenado $\mathbb P$ é $p\in\mathbb P$ se para todo $q\le p$ existe $r\in D$ tal que $r\le q$. Sejam $\mathbb P$ um forcing, $p\in\mathbb P$ e $\varphi$ uma fórmula. Mostre que $p\Vdash \varphi$ se, e somente se, $\{q\in\mathbb P: q\Vdash\varphi\}$ é denso abaixo de $p$. Mostre que se $p\not\Vdash \varphi$$q\le p$$q\Vdash \neg\varphi$$\mathbb P$$p\in\mathbb P$$\dot{f}$$A, B$$p\Vdash \dot{f}…

lista:forcingproprio

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-07-11T13:11:57+00:00

Forcing próprio e preservação de $\omega_1$ Antes de fazer esta lista, é melhor você fazer as listas de Forcing ccc e preservação de cardinais e Forcing enumeravelmente fechado e a consistência de CH Tomemos $\mathbb{P}$ um forcing e $p \in \mathbb{P}$ o jogo próprio, um jogo enumerável definido da seguinte forma: * Jogador 1 joga um nome para ordinal $\dot{\alpha}$ tal que $p \Vdash $$\dot{\alpha}$$\omega$$q \leq p$$$q \Vdash \forall n \in \omega \text{ }\exists k \in \omega : \dot{\alph…

lista:funcoes

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Formalização de funções e relações Dados conjuntos $X$ e $Y$, chamamos de uma de $X$ em $Y$ um subconjunto $R \subset X \times Y$. Chamamos de domínio de $R$ o conjunto $\{x \in X: \exists y \ (x, y) \in R\}$. Chamamos de imagem de $R$ o conjunto $\{y \in Y: \exists x \ (x, y) \in R\}$. Muitas vezes, denotamos $x R y$ no lugar de $(x, y) \in R$. No caso acima, quando $X = Y$, dizemos que a relação é sobre $X$$R = \{(m, n) \in \omega \times \omega: \exists k \in \omega \ m + k = n\}$$\omega$…

lista:funcoescontinuas

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Funções contínuas Sejam $(X, \tau)$ e $(Y, \rho)$ espaços topológicos. Dizemos que $f: X \rightarrow Y$ é uma se, para todo $A$ aberto em $Y$ (isto é $A \in \rho$) temos que $f^{-1}[A]$ é aberto em $X$ (isto é, $f^{-1}[A] \in \tau$), onde $f^{-1}[Z] = \{x \in X: f(x) \in Z\}$ (Atenção: Isso não quer dizer que $f$ tenha inversa - a notação só é parecida). Um jeito curto de ler a definição anterior é: $(X_1, \tau_1)$$(X_2, \tau_2)$$(X_3, \tau_3)$$f: X_1 \rightarrow X_2$$g: X_2 \rightarrow X_3$$…

lista:g1dd

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Jogo $\mathsf G_1(\mathsf D, \mathsf D)$ Provavelmente você vai querer dar uma olhada nos resultados da lista de enumerabilidade e na lista de densos. Denotamos por $\mathsf{G}_1(\mathsf A, \mathsf B)$ o seguinte jogo entre os jogadores I e II. A cada rodada $n \in \omega$, temos: * O jogador I escolhe $\mathcal C_n \in \mathsf A$; * O jogador II escolhe $C_n \in \mathcal C_n$. $\{C_n: n \in \omega\} \in \mathsf B$$(X, \tau)$$\mathsf D = \{D \subset X: D$$X\}$$\mathsf G_1(\mathsf D, \math…

lista:galestewart

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Jogo e Teorema de Gale-Stewart Apesar de não ser estritamente necessário, é interessante ler a lista sobre árvores. Introdução Seja $A \neq \emptyset$ um conjunto, sem perda relativa de generalidade, vamos considerar nessa sessão apenas árvores de sequência $ A^{<\omega} $ munidas de função óbvia de comprimento / altura $ |t| = n $$t \in A^n$$\subset$$\omega$$ F:\omega^{\textbf{op}} \to \textbf{Set} $$n < m$$F(m \to n) = F(m) \rightarrow F(n) $$n$$m$$[A^{<\omega}] \doteq \{ \text{ ramos de $$…

lista:hkappaehtrans

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

De fato, seja $ y \in x \in H(\kappa) $, seja $ |tr(y)| \geq \kappa $, mas $ tr(y) \subset tr(x) $ e portanto $ |tr(x)| \geq \kappa $.

lista:hmodelasubst

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Note que $ A \subset H(\kappa) $ e $ |A| < \kappa $, nesse caso $ \{\phi(a) : a \in A\} \subset H(\kappa) $ tem cardinalidade menor que $ \kappa $ e, da questão anterior, temos que ele é elemento de $ H(\kappa) $. Mas então $H(\kappa) \models \{\text{substituição}\}$.

lista:homegaehvomega

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Já temos que $ H(\omega) \subset V_\omega $. Note que se $ V_{n} $ tem cardinalidade $ k_{n}<\omega $, $ V_{n+1} $ tem cardinalidade $ 2^{k_{n}} < \omega $. Se $ x \subset V_{n} $, $ tr(x) \subset \bigcup_{k = 0}^{n}V_{n} $, mas este último é finito, logo $ |tr(x)|<\omega $, logo $ x \in H(\omega) $. Temos então $ V_\omega \subset H(\omega) $, provando o que queríamos.

lista:ideiageralforcing

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-30T12:02:53+00:00

Ideia geral Antes de começar as listas de forcing, é melhor você ter visto algo sobre o Axioma de Martin e também sobre Álgebras de Boole Nesta lista vamos supor alguns resultados que serão provados posteriormente. Precisamos também ter fixada uma álgebra de Boole $B$. O primeiro resultado é um metateorema:$\varphi$$[\![ \varphi ]\!] \in B$$\varphi$$\psi$$[\![ \neg \varphi ]\!] = - [\![ \varphi ]\!]$$[\![ \varphi \land \psi ]\!] = [\![ \varphi ]\!] [\![ \psi ]\!]$$\varphi_1, \ldots, \varphi_n$…

lista:imersao1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

$ (i) \implies (ii) $ Seja $ \mathcal{A} = (A,\cdot^{\mathcal{A}}) \subseteq \mathcal{N} $ submodelo, com $ h:M \to N $ isomorfismo. Seja $ \varphi $ do tipo $ s = t $, $ \mathcal{M} \models \phi[\alpha] \iff \mathcal{A} \models \varphi[h\circ \alpha] \iff \mathcal{N} \models \phi[h\circ \alpha] $, pois os termos de submodelos são iguais. Seja $ \varphi $ do tipo $ R(t_{1},\ldots,t_{n}) $, tome $ \mathcal{M} \models \varphi [\alpha] $, temos então que $ (t_{i}^{\mathcal{M}}[\alpha])_{i=1,\…

lista:incompletude

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Teorema da incompletude de Gödel Provavelmente vai ajudar você saber os resultados da lista de enumerabilidade. Também vamos assumir que você já mexeu com alguma linguagem de programação. Vários exercícios terão coisas como “escreva um programa que faça...”$P$$P$$f: \mathbb N \rightarrow \{0, 1\}$$f$$P$$n$$f(n)$$f: \mathbb N \rightarrow \{0, 1\}$$A \rightarrow B$$A$$B$$\varphi(x)$$x = y$$\varphi(y)$$\varphi$$\rightarrow$$\forall$$v_1$$T$$f$$\varphi_1, \ldots, \varphi_n$$\varphi_k$$\varphi_i$$i…

lista:indetertminado

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Um jogo indeterminado Dado um ultrafiltro $u$, definimos $J(u)$ como o seguinte jogo entre os jogadores $Alice$ e $Beto$: a cada rodada $n \in \omega$, $Alice$ escolhe $a_n \in \omega$ maior do que a escolha anterior de $Beto$ e então $Beto$ escolhe $b_n >a_n$. Definimos os seguintes conjuntos: $$ A = \{0,1,\dots, a_0\} \cup \bigcup_{n \in \omega} \{b_{n-1}+1, b_{n-1}+2, \dots, a_n\}$$ $$ B = \bigcup_{n \in \omega} \{a_n+1,a_n+2,\dots, b_n\}$$ $Alice$ vence se $A \in u$ e $Beto$ vence se $B \i…

lista:kuratowski

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Teorema de Kuratowski Dizemos que um grafo $G = (V,A)$ é uma subdivisão de um grafo $H = (V',A')$ se $G$ é construído a partir da remoção de uma quantidade finita de arestas de $H$ e a substituição de cada uma dessas arestas por caminhos conectando seus vértices. No exemplo abaixo, o grafo $G$$H$$H$$K_{3,3}$$K_5$$K_{3,3}$$K_5$$G=(V,A)$$G$$v\in V$$V\setminus \{v\}$$v$$G$$H$$G$$H'$$G$$H$$H'$$H=H'$$G$$G = (V,A)$$u,v \in V$$d(u,v)$$G$$u$$v$$G$$G$$G$$H$$H'$$H$$H'$$G$$C$$B$$T$$C\cup B$$\{c,b\}$$c \…

lista:laterais

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Esses exercícios são baseados nas sugestões da turma de Cálculo I das matemáticas de 2020. Num belo dia pela manhã, um ratinho chamado Roberto resolveu sair da toca para comer um pedaço de queijo provolone que havia guardado durante aquela semana. Sentou no gramado de seu jardim e, após respirar fundo e alegremente o ar agradável daquela manhã de primavera, começou a roer sem parar seu queijinho. Quando estava quase de buchinho cheio, notou que perto dali havia um gato que estava lhe observando…

lista:laterais1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Considere $f: \mathbb R \to \mathbb R$ uma função. Sobre ela, temos as seguintes informações: * $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 4$; * restrita a $]1, 5[$, $f$ é constante.

lista:lindelof

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Espaços de Lindelöf Talvez seja melhor você ler a lista de compactos antes desta. Dizemos que $(X, \tau)$ é um se, para toda cobertura aberta $\mathcal C$ para $X$, existe $\mathcal C' \subset C$ subcobertura enumerável. Mostre que todo espaço compacto é de Lindelöf. Mostre que todo espaço com base enumerável é de Lindelöf.$X$$F \subset X$$F$$X$$(X, d)$$X$$X$$X$$X$$X$$X$$K$$X \times K$

lista:localidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Dado um modelo $\mathcal{M}$, definimos o grafo de Gaifman de $\mathcal{M}$, $\mathcal{G}(\mathcal{M})$, da seguinte forma: * O universo (vértices) de $\mathcal{G}(\mathcal{M})$ é $M$ (o mesmo do modelo) * Dois vértices $a$ e $b$ estão ligados por uma aresta se: * $a=b$ * Para alguma relação $n$-ária $R$, $a$ e $b$ aparecem em alguma $n$$\overline{x}$$\mathcal{M} \models R(\overline{x})$$\overline{x} \in R^\mathcal{M}$$\mathcal{M}$$<$$a$$b$$a=b$$a

lista:locamentecompactos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Localmente compactos Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço se, para todo $x \in X$, existe $\mathcal V_x$ sistema fundamental de vizinhanças compactas para $x$. Seja $(X, \tau)$ espaço de Hausdorff. Mostre que são equivalentes: Solução * $X$ é localmente compacto; * para todo $x \in X$, existe $V$ vizinhança compacta de $x$$x \in X$$A$$x \in A$$\overline A$$(X, \tau)$$X$$(X, \tau)$$X$

lista:luzin

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Conjunto de Luzin Este é um roteiro para mostrar que existe um conjunto de Luzin supondo a Hipótese do Contínuo (CH). Provavelmente você vai querer ver os resultados da lista de Conjuntos de Bernstein. Seja $X$ um espaço topológico. Dizemos que um conjunto $N$ é nowhere dense em $X$$\forall B \subset X$$B \neq \emptyset$$\overline{N} \nsupseteq B$$N \subset X$$A \subset N$$A$$N_1, N_2,\ldots, N_m \subset X$$m \in \omega$$\bigcup_{i = 1}^{m} N_i$$\overline{N}$$L \subset \mathbb R$$L$$L$$A \su…

lista:ma

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-12-18T15:12:39+00:00

Axioma de Martin Dizemos que uma relação $\leq$ sobre um conjunto $P$ é uma se, para quaisquer $a, b, c \in P$ temos: * $a \leq a$; * se $a \leq b$ e $b \leq c$, então $a \leq c$. Dê um exemplo de uma pré-ordem que não seja uma ordem.Solução Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem. Dizemos que $F \subset P$ é um se $F \neq \emptyset$ e: * $F \neq P$ (condição de não trivialidade);$p, q \in F$$r \leq p, q$$r \in F$$p \in F$$q \in P$$p \leq q$$q \in F$$(P, \leq)$$p, q \in P$$r \in P$$r \leq …

lista:majogos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Axioma de Martin e jogos Você provavelmente vai querer dar uma olhada nas listas do Axioma de Martin, do Jogo de Rothberger e jogo de Menger. Seja $X$ um espaço de Lindelöf. Seja $\sigma$ uma estratégia para o jogador I no jogo $G_1(O, O)$. Considere $\sigma = \{A_s: s \in ^{<\omega}\omega\}$ de forma que, para qualquer $s \in ^{<\omega}\omega$, $\{A_{s \smallfrown n}: n \in \omega\}$ seja a cobertura jogada por $\sigma$ após o jogador II escolher $A_s$$x \in X$$D_x = \{s \in ^{< \omega}\om…

lista:matopologico

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Axioma de Martin (versão topológica) Provavelmente você vai querer ver os resultados das listas do axioma de Martin e do Teorema de Baire. Dizemos que um espaço topológico $(X, \tau)$ é c.c.c. se não existe uma família não enumerável de abertos de $X$ dois a dois disjuntos. Mostre que todo espaço separável é c.c.c.$X$$V$$X$$\overline V$$(X, \tau)$$(P, \leq)$$P = \{A \in \tau: A \neq \emptyset\}$$A \leq B$$\overline A \subset B$$A$$X$$D = \{B \in P: \overline B \subset A\}$$P$$(A_\xi)_{\xi <…

lista:menger

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Jogo de Menger Denotamos por $\mathsf{G}_{fin}(\mathcal A, \mathcal B)$ o seguinte jogo entre os jogadores I e II. A cada rodada $n \in \omega$, temos: * O jogador I escolhe $\mathcal C_n \in \mathcal A$; * O jogador II escolhe $C_n \subset \mathcal C_n$ finito. Dizemos que o jogador II venceu o jogo se $\bigcup_{n \in \omega} C_n \in \mathcal B$. Chamamos de o jogo $\mathsf{G}_{fin}(\mathcal O, \mathcal O)$ onde $\mathcal O$ é a família de todas as coberturas abertas. Ou seja, este é…

lista:mengerprincipioseletivo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Princípio Seletivo de Menger Provavelmente você vai querer dar uma olhada nos resultados da seção sobre o Jogo de Menger. Seja $X$ uma espaço topologico e $O=\{\mathcal{C}:\mathcal{C}$ é uma cobertura para $X\}$. $S_{fin}(O,O)$: Dada uma família de coberturas abertas $(\mathcal C)_{n\in\omega}\subset O$ $\forall n\in\omega$ $\exists F_n\subset\mathcal C _n$ finito tal que $\bigcup_{n\in\omega}F_n\in O$. $S^B_{fin}(O,O)$: Dada uma família de coberturas abertas $(\mathcal C)_{n\in\omega}\subse…

lista:metricas

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Métricas equivalentes Dado um espaço métrico $(X, d)$, chamamos de $\tau = \{A \subset X: \forall a \in A \ \exists r > 0 \ B_r(a) \subset A\}$ de . Seja $X$ um conjunto. Considere $d: X \times X \to \mathbb R$ dada por * $d(x, y) = 0$ se $x = y$ * $d(x, y) = 1$ se $x \neq y$. Mostre que $d$ é uma métrica sobre $X$. Chamamos tal métrica de . Determine $B_{\frac{1}{2}}(x)$, $B_{1}(x)$ e $B_2(x)$ para algum $x \in X$. Mostre que todo conjunto $A \subset X$$d$$X$$\tau = \wp(X)$$\tau$…

lista:modelos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-03-20T14:12:32+00:00

Modelos Esta lista tem como objetivo apresentar como formalizar a ideia de como dizer que uma certa estrutura satisfaz determinados axiomas. Para isso, vamos formalizar como podemos escrever tais axiomas. A primeira parte da lista cuida justamente disso: como os axiomas podem ser escritos de uma maneira formal. Atente que, de começo, as fórmulas não tem qualquer significado - são apenas sequências de símbolos. O que fazemos de início é simplesmente dizer quais sequências estão bem formadas e q…

lista:modeloszfc

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-02-23T11:08:00+00:00

Modelos de Conjuntos Imersões Uma de $\mathcal{M}$ em $ \mathcal{N} $ é um isomorfismo entre $ \mathcal{M} $ e um submodelo $ \mathcal{A} \subseteq \mathcal{N} $. Se $ \mathcal{A} \prec \mathcal{N} $, chamamos a imersão de . Sejam $ \mathcal{M} $ e $ \mathcal{N} $ $ L $-modelos e $ h:M \to N $, são equivalentes: Solução * h é uma imersão (elementar). * Para toda fórmula atômica $ \varphi $ (para toda $ \varphi $) e toda valoração $ \alpha $$ M $$ \mathcal{M} \models \varphi[\alpha] …

lista:motivacaolimite

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Esses exercícios são baseados nas sugestões da turma de Cálculo I das matemáticas de 2020. O violão é um instrumento de cordas, com uma caixa geralmente feita de madeira, que gera uma acústica facilitando a propagação do som. Ele é composto por um corpo e um braço onde se encontram 6 cordas. Cada corda possui um nome de acordo com a sua afinação. A corda que possui um som mais agudo é a corda $C$$C$$\pm$$\pm$$f$$x$$f(x)$$f(648) = 330$$|V - 15| < 2 \Rightarrow |q - 54| < 1$$|…

lista:naot0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Espaço não $T_0$: Basta tomar $X=\{1,2\}$ com a topologia $\tau =\{ \emptyset, \{1,2\}=X\}.$ Note que essa ideia funciona para qualquer espaço com mais de um elemento se tomarmos a topologia trivial.

lista:negacaodech

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-07T11:02:22+00:00

A consistência de $\neg$CH Dados $A$ e $B$ conjuntos quaisquer, denotaremos por $Fn(A,B)$ o conjunto das funções finitas cujo domínio está contido em $A$ e a imagem está contida em $B$. Dadas $f,g \in Fn(A,B)$, se $f \supset g$, então dizemos que $f \leq g$. Mostre que $\langle Fn(A,B), \leq \rangle$ é um forcing. Mostre que se $B$$\mathbb{P} = Fn(A,B)$$p \Vdash \varphi$$\varphi \rightarrow \psi$$p \Vdash \psi$$\mathbb{P} = Fn(\omega_2 \times \omega, 2)$$A$$\mathbb{P}$$\alpha,\beta \in \om…

lista:nequivalencia

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

O Jogo de Ehrenfeucht e a $n$-equivalência Dada uma fórmula $\varphi$, definimos o seu rank de quantificadores, denotado $qr(\varphi)$ como: * Se $\varphi$ é atômica, $qr(\varphi)=0$ * $qr(¬\varphi)=qr(\varphi)$ * $qr(\varphi \wedge \psi)=\max \{ \varphi , \psi \}$ * $qr(\exists x \varphi)=qr(\varphi)+1$ Dizemos que dois $L$-modelos $\mathcal{A}$ e $\mathcal{B}$ são $n$-equivalentes, denota-se $\mathcal{A} \equiv ^n\mathcal{B}$ se satisfazem as mesmas fórmulas de rank menor ou igual a…

lista:nomes

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-04T11:01:28+00:00

Nomes É melhor você fazer essa lista antes desta. Nesta lista vamos definir nomes. Eles serão úteis para se definir o valor booleano de fórmulas. No decorrer desta lista, $B$ é sempre uma álgebra booleana completa fixada. Definimos por indução nos ordinais:$V_0^B = \emptyset$$V_{\alpha + 1}^B = \{\sigma| \sigma$$\sigma \subset V_\alpha^B$$B\}$$V_\alpha^B = \bigcup_{\beta < \alpha}V_\beta^B$$\alpha$$V_\alpha^B$$\sigma$$\sigma$$\alpha$$\sigma \in V_\alpha^B$$\emptyset$$\{(\emptyset, 1)\}$$\sig…

lista:numlebesgue

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Número de Lebesgue Provavelmente é melhor você fazer as listas de compactos e a de funções contínuas antes dessa. Dada uma cobertura $\mathcal C$ para um métrico $X$, dizemos que $\lambda \in \mathbb R_{>0}$ é um para tal cobertura se, para todo $F \subset X$ com diâmetro menor que $\lambda$, existe $C \in \mathcal C$ tal que $F \subset C$. Mostre que $\{]0, \frac{1}{n + 1}[: n \in \mathbb N\}$ é uma cobertura para $]0, 1[$$X$$\mathcal C$$X$$C_1, \ldots, C_n \in \mathcal C$$i = 1, \ldots, …

lista:omegaomeganaosubst

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

$ \omega \in V_{\omega + \omega} $. Seja $ \phi(n) = V_{\omega +n} $. Pelo axioma da substituição, $ X = \{V_{\omega + n} : n \in \omega\} \in V_{\omega+\omega} $. Da união $ \bigcup X = V_{\omega + \omega} \in V_{\omega + \omega} $.

lista:omegaomegapartes

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Tome $ X \in V_{\omega + \omega} $, $ X \subset V_{\beta}, \beta < \omega + \omega $. Dado $ Y \subset X $, note que $ Y \in V_{\beta+1} $. Logo $ \mathcal{P}(X) \subset V_{\beta + 1} $ e portanto $ \mathcal{P}(X) \in V_{\beta + 2} \subset V_{\omega+\omega} $.

lista:omegaomegauniao

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Seja $ X \in V_{\omega + \omega} $, seja $ Y = \bigcup X $, por $ (iv) $ temos $ X \in V_{\beta} $ com $ \beta < \omega + \omega $, mas então qualquer elemento dele tem rank $y \in X \implies rank(y) < \beta < \omega + \omega $, nesse caso $ Y \in V_{\omega + \omega} $.

lista:omegax

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Jogo $\mathsf G_1(\mathsf{\Omega_x}, \mathsf{\Omega_x})$ Provavelmente você vai querer dar uma olhada nos resultados da lista de enumerabilidade e na lista de sequências. Denotamos por $\mathsf{G_1}(\mathsf A, \mathsf B)$ o seguinte jogo entre os jogadores I e II. A cada rodada $n \in \omega$, temos: * O jogador I escolhe $\mathcal C_n \in \mathsf A$; * O jogador II escolhe $C_n \in \mathcal C_n$$\{C_n: n \in \omega\} \in \mathsf B$$(X, \tau)$$x \in X$$\mathsf{\Omega_x} = \{A \subset X: x…

lista:ordemdensa

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Ordem Densa Seja $(X, \leq)$ um conjunto ordenado. Dizemos que $\leq$ é uma se , para todos $a,b \in X$ tais que $a < b$, temos que existe $c \in X$ satisfazendo $a < c < b$. Mediante essa definição, observemos que $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$ possuem a ordem usual como densa enquanto $\mathbb N$ e $\mathbb Z$ não. Nesta lista, discutiremos se existem outras ordens densas que também satisfazem propriedades específicas desses dois conjuntos numéricos.$\{a_0,a_1,a_2,a_3,\dots,a_n,a_{n+1}\}$$Y$$f…

lista:ordinais

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Ordinais É melhor você ter feito a lista de Boa Ordem antes. Considere $(X, \leq)$ bem ordenado. Suponha que $Y \subset X$ é tal que, para todo $x \in X$, se $\{a \in X: a < x\} \subset Y$, então $x \in Y$. Mostre que $Y = X$. Esse é uma formulação do . Solução Dizemos que um conjunto $X$ é se , para todo $y \in X$, temos que $y \subset X$. Mostre que $X$ é transitivo se, e somente se, para todos os conjuntos $a, b$$a \in b$$b \in X$$a \in X$$X$$\alpha \in X$$\alpha \cup \{\alpha\} \subse…

lista:oxtobycomesquemas

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Se $I$ vence o jogo de Banach Mazur, o espaço não é Baire Esta é uma sub-lista. Para entender seu contexto, você deve saber que abertos de espaços de Baire são espaços de Baire e também a recíproca do título da página. Interprete o jogo de Banach-Mazur e todas as suas [(quasi-)estratégias] como esquemas de abertos não vazios regular . Suponha que você está numa posição $U$, turno do adversário de $\sigma$$\sigma$$A \subset U$$\pi$$A$$\sigma$$U \in \tau \backslash \{\emptyset\}$$\sigma$$\pi$…

lista:p-ponto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-01-09T15:27:58+00:00

$p$-ponto Dizemos que um ultrafiltro não principal $u$ sobre $\wp(\omega)$ é um $p$-ponto se, para qualquer família $(A_n)_{n \in \omega}$ tal que cada $A_n \in u$, temos que existe $B \in u$ tal que $B \subset^* A_n$ para todo $n$. Uma família $\mathcal{E}$ de conjuntos tem a Propriedade de Interseção Finita Forte (SFIP, em inglês) se $\bigcap \mathcal{F} \neq \emptyset$$\mathcal{F} \subseteq \mathcal{E}$$K$$\mathcal{E}$$K$$K \subset^* Z$$Z \in \mathcal{E}$$\mathcal A$$\omega$$B$$\mathcal{A}…

lista:p-ponto_jogo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-01-19T07:59:02+00:00

Caracterização de $p$-ponto via jogos Nessa lista vamos apresentar um jogo que caracteriza um ultrafiltro como um $p$-ponto. Você provavelmente vai precisar de alguns conhecimentos básicos sobre jogos e da lista sobre $p$-ponto. Seja $\mathcal{F}$ um ultrafiltro em $\omega$. Defina o jogo $G(\mathcal{F})$$n$$X_n \in \mathcal{F}$$a_n \subseteq X_n$$$X_1,a_1,X_2,a_2,\ldots .$$$\displaystyle \bigcup_{n \in \omega} a_n \not\in \mathcal{F}$$\mathcal{F}$$p$$\{X_n:n \in \omega\} \subseteq \mathcal{F}…

lista:pibase

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

$\pi$-Bases Seja $(X,\tau)$ espaço topológico. Dizemos que $\mathcal B \subset \tau$ é uma para $X$ se, para todo $A$ aberto, existe $B \in \mathcal B$ não vazio tal que $B \subset A$. Mostre que todo espaço com base enumerável admite uma $\pi$-base enumerável. Mostre que a reta de Sorgenfrey admite uma $\pi$-base enumerável, mas não uma base enumerável.$\pi$$A$$X$$\mathcal B = \{V \in \tau: V \neq \emptyset$$V \subset A\}$$A$$\mathcal B$$\pi$

lista:planares

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Grafos Planares Algumas definições e alguns resultados das listas de conexidade e de árvores serão utilizados. Dizemos que um grafo $G = (V,A)$ é um grafo planar se ele pode ser desenhado no plano de modo que suas arestas não se intersectam. Tal desenho será designado representação planar$G = (V,A)$$\{R_1,R_2,\dots,R_n\}$$b(R_i)$$R_i$$\displaystyle \sum_{i=1}^nb(R_i) \leq 2|A|$$G$$G$$b(R)$$R$$G$$n$$q$$r$$n-q+r=2$$G$$q=0$$G$$q$$G$$G = (V,A)$$|V|\geq 3$$|A|\geq 3$$|A|\leq 3|V|-6$$K_5$$G$$12$$\de…

lista:pontoaberto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Os jogos ponto-aberto e finito-aberto Provavelmente você vai querer olhar a lista do jogo de Rothberger. Dado $(X, \tau)$ espaço topológico, chamamos de o seguinte jogo entre os jogadores I e II: A cada rodada $n \in \omega$, o jogador I escolhe $x_n \in X$. Então, o jogador II escolhe $A_n$ aberto tal que $x_n \in A_n$$\bigcup_{n \in \omega} A_n = X$$(X, \tau)$$n \in \omega$$F_n \subset X$$A_n$$F_n \subset A_n$$\bigcup_{n \in \omega} A_n = X$$\mathsf G_1(\mathsf O, \mathsf O)$$\mathsf G_1(\m…

lista:pontofechado

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Ida: Dado $x \in X$, vamos mostrar que $X \backslash \{x\}$ é aberto: Tomando $y \in X$ e sabendo que $X$ é $T_1$ temos então que existe $A_y$ aberto em $X$ tal que $y \in A_y$ e $x \notin A_y$. Mas note que: * $\bigcup_{y \in X \backslash \{x\}} A_y = X \backslash \{x\}$. Prova: Seja $z \in \bigcup_{y \in X \backslash \{x\}} A_y$, então $z \in A_z$ pra algum $A_z \in \bigcup_{y \in X \backslash \{x\}} A_y$, logo, $z \in X \backslash \{x\}$. Agora tome $z \in X \backslash \{x\}$. Como $…

lista:pontofixo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Teoremas de ponto fixo Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de sequências de Cauchy e completude. Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $x \in X$ é um para $f: X \rightarrow X$ se $f(x) = x$. Sejam $(X, d)$ e $(Y, d')$ espaços métricos. Dizemos que $f: X \rightarrow Y$ é uma se existe $k \in [0, 1[$ tal que, para todo $x, y$ distintos, $d'(f(x), f(y)) \leq k d(x, y)$. Mostre que toda contração é uma função contínua.$(X, d)$$f: X \rightarrow X$$f$$(X, d)…

lista:primostop

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Existência de infinitos primos Considere $\tau = \{A \subset \mathbb{Z}:$ para todo a $\in$ A, existe b $\in \mathbb{N}_{>0}$ tal que $\{a + bz: z \in \mathbb{Z}\} \subset A \}$. Mostre que $\tau$ é um topologia sobre $\mathbb{Z}$. Solução Mostre que não existe um aberto não vazio que seja finito. Solução Mostre que, dados $a \in \mathbb{Z}$ e $b \in \mathbb{N}_{>0}$, o conjunto $S(a,b) = \{a + bz: z \in \mathbb{Z}\}$ é aberto e fechado. Solução Mostre que $\mathbb{Z} \setminus \{-1, 1\…

lista:princmaximo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-30T15:21:57+00:00

Princípio do Máximo Dados $a$ e $b$ elementos de uma álgebra de Boole, dizemos que $a$ e $b$ são incompatíveis, denota-se $a \perp b$ se $ab=0$. Seja $u = \left( u_i \, : \, i \in I \right)$ uma sequência de nomes e $a = \left( a_i \, : \, i \in I \right)$ uma sequência de elementos de A. Definimos o nome $M_a^u$ de modo que: * $\mathrm{dom}(M_a^u) = \bigcup\limits_{i \in I} \mathrm{dom}(u_i)$ * $M_a^u(x) = \underset{i \in I}{\mathrm{sup}} \, a_i [\![ x \in u_i ]\!]$ Sejam $a$ e $u$ com…

lista:produtoccc

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Produto de espaços ccc Dizemos que um espaço topológico é se, para toda família $\mathcal F$ de abertos de $X$, existem $A, B \in \mathcal F$ tais que $A \cap B \neq \emptyset$. Seja $(X_\xi)_{\xi < \kappa}$ uma família de espaços topológicos tal que, para qualquer $F \subset \kappa$ finito, $\prod_{\xi \in F} X_\xi$ é ccc. Suponha que $(A_\xi)_{\xi < \omega_1}$ seja uma família de abertos básicos não vazios de $\prod_{\xi < \kappa} X_\xi$$(a_\xi)_{\xi < \omega_1}$$\Delta$$a_\xi$$A_\xi$$\Del…

lista:produtos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Produtos Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de bases antes de fazer esta. Sejam $(X, \tau)$ e $(Y, \rho)$ espaços topológicos. Chamamos de a topologia sobre $X \times Y$ tal que as vizinhanças de cada ponto $(x, y) \in X \times Y$ são da forma $V \subset X \times Y$ tais que existem $A \in \tau$ e $B \in \rho$ tais que $(x, y) \in A \times B \subset V$. Ou seja, $W \subset X \times Y$ é aberto se, e somente se, para todo $(a, b) \in W$$A \in \tau$$B \in \rho$$(a, b) \…

lista:produtosinfinitos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Produtos infinitos A lista de produtos é um bom aquecimento para esta. Seja $X$ um conjunto e seja $T$ uma família não vazia de topologias sobre $X$. Mostre que $\bigcap_{\tau \in T} \tau$ é uma topologia sobre $X$. Seja $X$ um conjunto e seja $\mathcal A$ uma família de subconjuntos de $X$. Definimos a $\mathcal A$ $\tau = \bigcap_{\rho \in T} \rho$ onde $T = \{\rho: \rho$ é topologia sobre $X$$\mathcal A \subset \rho\}$$T \neq \emptyset$$\mathcal A$$X$$\bigcup_{A \in \mathcal A} A = X$$…

lista:psiespacos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

$\psi$-espaços Provavelmente você vai querer fazer a lista de famílias quase disjuntas antes desta. Dada uma família quase disjunta $\mathcal F$ de subconjuntos de $\omega$, definimos o espaço $X = \mathcal F \cup \omega$ com a topologia tal que $\{n\}$ é aberto para todo $n \in \omega$ e as vizinhanças básicas de cada $F \in \mathcal F$ são da forma $\{F\} \cup (F \smallsetminus A)$$A$$\mathcal F$$\omega$$\psi(\mathcal F)$$x \in \psi(\mathcal F)$$\psi(\mathcal F)$$\psi(\mathcal F)$$\mathcal F…

lista:quasedisjuntas

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-01T14:24:54+00:00

Famílias quase disjuntas Seja $X$ um conjunto enumerável. Seja $\mathcal A$ uma família de subconjuntos infinitos de $X$. Dizemos que $\mathcal A$ é uma se, para todo $A, B \in \mathcal A$ distintos, temos que $A \cap B$ é finito. Dizemos que $\mathcal A$ é uma (no inglês ) se não existe uma família quase disjunta $\mathcal B$$\mathcal A \subsetneq \mathcal B$$1$$2$$3$$r, s \in \mathbb R \smallsetminus \mathbb Q$$(q^r_n)_{n \in \omega}$$(q^s_n)_{n \in \omega}$$q^r_n \rightarrow r$$q_n^s \righ…

lista:rankthing

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Seja $ \alpha $ o menor ordinal tal que exista $ x $ com $ rank(x) = \alpha $ e $ \{rank(y) : y \in tr(x) \} \neq \alpha $. Se $ \alpha \in \textbf{Suc} $, $ \exists y \in x $ com $ rank(y) = \beta $ com $ \alpha = \beta + 1 $, mas seja $ \gamma \in \alpha $, se $ \gamma = \beta $ já achamos $ y $ com $ rank(y) = \beta $, se $ \gamma < \beta $, temos da minimalidade de $ \alpha $ que existem $ z \in y $ com $ rank(z) = \gamma $, mas $ z \in y \in x $, logo $ z \in tr(x) $. Logo, $ \{rank(y)…

lista:recursao

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Recursão Para esta lista é melhor você estar familiarizado em como formalizar o conceito de funções. Veja isso nessa lista. A primeira parte desta lista serve mais como motivação e para dar uma intuição no que vem a seguir. Seja $g: \omega \times \omega \to \omega$ uma função. Seja $k_0 \in \omega$$f: \omega \to \omega$$f(0) = k_0$$f(n + 1) = g(f(n), n + 1)$$\mathcal F = \{h \subset \omega \times \omega: h$$\{0, \ldots, n\}$$n \in \omega$$h(0) = k_0$$h(a + 1) = g(h(a), a + 1)$$a = 0,\ldots, …

lista:retademichael

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Reta de Michael Considere $\mathbb R$ com a topologia gerada por $\tau \cup \{\{x\}: x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q\}$. Chamamos este espaço de e vamos denota-lo por $M$. Mostre que para cada $q \in \mathbb Q$, uma base para $q$ em $M$ é $\{]a, b[: a, b \in \mathbb B, a < q < b\}$. Mostre que $M$ tem bases locais enumeráveis, mas não tem base enumerável. Mostre que $M$ não é separável.$\mathbb R$$F \subset \mathbb R \setminus \mathbb Q$$M$

lista:rothberger

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Jogo de Rothberger Dado $(X, \tau)$ espaço topológico, chamamos de o seguinte jogo entre os jogadores I e II: A cada rodada $n \in \omega$, o jogador I escolhe $\mathcal C_n$ uma cobertura por abertos para $X$. Então, o jogador II escolhe $C_n \in \mathcal C_n$. Dizemos que o jogador II vence o jogo se $\bigcup_{n \in \omega} C_n$ é uma cobertura para $X$$G_1(O, O)$$\uparrow G_1(O, O)$$X$$\uparrow G_1(O, O)$$X = \mathbb R \cup \{a\}$$a \notin \mathbb R$$A \subset \mathbb R$$A$$a \in A$$A$$X \s…

lista:schoroeder

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein Durante esta lista, considere $A$ e $B$ conjuntos disjuntos e $f: A \rightarrow B$ e $g: B \rightarrow A$ funções injetoras. Dado $x \in A \cup B$ defina por indução: * $s_0 = x$ * $s_{n + 1} = f(s_n)$, se $s_n \in A$ * $s_{n + 1} = g(s_n)$ se $s_n \in B$ * $s_{-(n + 1)} = f^{-1}(s_{-n})$ se $s_{-n} \in B$ e $f^{-1}(s_{-n})$ está definido * $s_{-(n + 1)} = g^{-1}(s_{-n})$ se $s_{-n} \in A$ e $g^{-1}(s_{-n})$ está definido Note $s_k$ pode não ser de…

lista:separados

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Separados por algum lado Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de boa ordem, da lista de densos e da lista de espaços de Lindelöf. Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $X$ é se existe uma boa ordem sobre $X$ de maneira que, para todo $x \in X$, $\{y \in X: y < x\}$ é fechado. Mostre que, para todo $X$ existe $D \subset X$ denso tal que $D$$X$$Y \subset X$$(X, \tau)$$X$$X$$x \in X$$\{y \in X: y \geq x\}$$X$$X$$Y \subset X$

lista:sequencias

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Sequências Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Dizemos que $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ é uma para o ponto $x \in X$ se, para todo $A$ aberto tal que $x \in A$, existe $n_0$ tal que, para todo $n \geq n_0$ temos que $x_n \in A$. Neste caso, usamos a notação $x_n \rightarrow x$. Fazemos o seguinte abuso de notação: escrevemos $(x_n)_{n \in \mathbb N} \subset X$ para indicar que cada $x_n \in X$$(\frac{1}{n + 1})_{n \in \mathbb N}$$0$$\mathbb R$$a \in X$$(x_n)_{n \in \mathbb N}$$x_n = a$$n$$a$$(x_n…

lista:sigmamenger

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Jogo de Menger e $\sigma$-compacidade Provavelmente você vai querer dar uma olhada nos resultados da seção sobre o Jogo de Menger. Você provavelmente já viu que se $X$ é um espaço $\sigma$-compacto, então o jogador II tem estratégia vencedora no jogo de Menger. Nesta lista, veremos que se $X$$X$$X$$\mathcal C$$X$$C_1, \ldots, C_n \in \mathcal C$$X \subset \overline{\bigcup_{i = 1}^n C_i}$$A$$n\in\omega$$^{<\omega}A$$A$$$ ^{<\omega}A:=\bigcup_{n\in\omega} {}^n A,$$$^n A$$f:n\rightarrow A$$s=(s_…

lista:somaproduto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Esses exercícios são baseados nas sugestões da turma de Cálculo I das matemáticas de 2020.

lista:sorgenfrey

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Alguns contra exemplos usando a reta de Sorgenfrey Esta lista não apresenta conceitos novos, mas fornece vários contra exemplos para as “voltas” de implicações válidas. Vários dos exercícios tem diversas maneiras de resolução. Se você precisa praticar alguns conceitos básicos, esta lista pode ser um bom lugar.$\mathbb R$$\{[a, b[: a, b \in \mathbb R\}$$\mathbb R_S$$\mathbb R_S$$\{(x, -x): x \in \mathbb R\} \subset \mathbb R_S \times \mathbb R_S$$\mathbb R_S$$\mathbb R_S$$\mathbb R_S \times \mat…

lista:sortidosbasicotopologia

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Sortidos (Básico de Topologia) Estes exercícios não seguem qualquer ordem. Muitos deles tem diversos tipos de solução. É um bom lugar para ver treinar o básico de topologia geral. Sejam $(x_n)_{n \in \omega}$ e $(y_n)_{n \in \omega}$ sequências de números reais convergentes para $x$ e $y$$x_n \neq x_m$$n \neq m$$x_n \neq x$$n \in \omega$$f: \mathbb R \to \mathbb R$$f(x_n) = y_n$$n \in \omega$$X$$X^n$$n \in \omega$$X^\omega$

lista:sortidoscombinatoria

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Sortidos (Combinatória infinita) Estes exercícios não seguem qualquer ordem. Muitos deles tem diversos tipos de solução. É um bom lugar para ver treinar combinatória infinita. Seja $(A_n)_{n \in \omega}$ cadeia decrescente de subconjuntos infinitos de $\omega$ ordenada por $\subset^*$$B$$B \subset^* A_n$$n \in \omega$$B \smallsetminus A$

lista:stonecech

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista do Teorema da imersão Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico de Hausdorff. Dizemos que $cX$ é uma de $X$ se $cX$ é de Hausdorff, $\overline X = cX$ e $cX$ é compacto. Seja $(X,\tau)$ um espaço completamente regular. Chamamos de $\beta X = \overline{\{(f(x))_{f \in \mathcal{F}}:x \in X\}} \subset [0,1]^{\mathcal{F}}$(Lembre que $[0,1]^{\mathcal{F}} = \prod_{f \in \mathcal{F}}[0,1]$), onde $\mathcal{F}$ é o conjunto de todas as funções c…

lista:subbase

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Lema da Sub-base de Alexander Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Dizemos que uma coleção de abertos $\mathcal B$ é uma para $X$ se $\{\bigcap_{i = 1}^n B_i: B_1, \ldots, B_n \in \mathcal B\}$ é uma base para $X$. Mostre que $\mathcal B = \{[0, a[: a \in ]0, 1[\} \cup \{]b, 1]: b \in ]0, 1[\}$ forma uma sub-base para $[0, 1]$ com a topologia usual. Seja $\mathcal B$ uma sub-base para $X$. Mostre que se $X$ é compacto, então toda cobertura por abertos de $\mathcal B$$\mathcal B$$X$$X$$\mat…

lista:submodeloselementares

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-05-08T14:11:47+00:00

Relações entre modelos Dizemos que dois L-modelos $\mathcal{M}$ e $\mathcal{N}$ são isomorfos ($\mathcal{M} \cong \mathcal{N}$) se existe uma bijeção $h: M \rightarrow N$ tal que: - para todo símbolo relacional R e $a_1,\ldots,a_n \in M$, temos que $R^{\mathcal{M}}(a_1,\ldots,a_n)$ se, e somente se, $R^{\mathcal{N}}(h(a_1),\ldots,h(a_n))$. - para todo símbolo funcional $f$ e $a_1,\ldots,a_n \in M$, temos que $h(f^{\mathcal{M}}(a_1,\ldots,a_n)) = f^{\mathcal{N}}(h(a_1),\ldots,h(a_n))$ - para …

lista:suslin

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-02T11:32:31+00:00

Hipótese de Suslin Seja $(X, \leq)$ totalmente ordenado, enumerável, com ordem densa e sem maior nem menor elementos. Mostre que $X$ é isomorfo a $\mathbb Q$. Solução Seja $(X, \leq)$ totalmente ordenado, completo, com ordem densa, sem maior nem menor elementos e separável. Mostre que $X$$D \subset X$$x \in X$$x = \sup\{d \in D: d < x\}$$X$$\mathbb R$$(X, \tau)$$(X, \leq)$$(X, \leq)$$(a_\xi)_{\xi \in \omega_1}$$(b_\xi)_{\xi \in \omega_1}$$(c_\xi)_{\xi \omega_1}$$X$$\xi \in \omega_1$$a_\xi…

lista:t0naot1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Tome $X=\{0,1\}$ com a topologia $\tau = \{ \emptyset, \{0\}, \{0,1\} \}$. Como $X$ só tem dois elementos e $\{0\}$ é um aberto que contém apenas $0$, conseguimos separar $0$ de $1$ e portanto $X$ é $T_0$. Agora note que todo aberto que contém $1$, também contém $0$. Logo não conseguimos separar $1$ de $0$ e portanto tal espaço não é $T_1$

lista:t3vizfechada

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Ida: $X$ é $T_3$, então dados $x \in X$ e $F \subset X$ fechado tal que $x \notin F$ temos dois abertos $A$ e $B$ disjuntos onde $x \in A$ e $F \subset B$. Note que $X \smallsetminus F$ é aberto e que $x \in X \smallsetminus F$. Note também que $X \smallsetminus B$ é fechado para todo $B$, que $x \in X \smallsetminus B$ e que $A \subset X \smallsetminus B \subset X \smallsetminus F$, logo, $x$ admite sistema fundamental de vizinhanças fechadas. Volta: Se para todo $x \in X$$A$$x \in A$$V \in …

lista:teoremadaimersao

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Teorema da imersão Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de produtos infinitos. Seja $(X_\alpha, \tau_\alpha)_{\alpha \in A}$ uma família de espaços topológicos e seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Seja $(f_\alpha)_{\alpha \in A}$ uma família de funções da forma $f_\alpha: X \rightarrow X_\alpha$. Definimos a desta família a função $\Delta_{\alpha \in A} f_\alpha: X \rightarrow \prod_{\alpha} X_\alpha$ a função dada por $$\Delta_{\alpha \in A} f_\alpha(x) = (f_\alpha(…

lista:teoremadebaire

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Teorema de Baire Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de densos. Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Sejam $A$ e $B$ abertos densos em $X$. Mostre que $A \cap B$ é um aberto denso em $X$. Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Dizemos que $X$ é um se, dada uma sequência $(A_n)_{n \in \omega}$ de abertos densos, temos que $\bigcap_{n \in \omega} A_n$$X$$\mathbb Q$$T_1$$(X, \tau)$$A$$D$$B$$\overline B \subset A \cap D$$(X, \tau)$$X$$X$$X$$(X, d)$$A$$D$$x \in X$$r \in \math…

lista:teoremaderamsey

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Teorema de Ramsey Para um conjunto $X$ e um cardinal $\alpha$ definimos: * $[X]^{\alpha} = \{ Y \subset X : |Y|=\alpha \}$ * $[X]^{\leq \alpha} = \{ Y \subset X : |Y|\leq \alpha \}$ * $[X]^{\geq \alpha} = \{ Y \subset X : |Y|\geq \alpha \}$ Sejam $n\in \omega$ e $\mu$ um cardinal. Uma de $X$ com $\mu$ cores é uma função $c:[X]^n \rightarrow \mu$. Seja $c$ uma $n$-coloração sobre $X$ com $\mu$ cores. Dizemos que $H\subset X$ é (ou só ) de cor $i\in \mu$ se $c$ é constante em $[H]…

lista:teoremaderamseyimposivel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-09-08T18:12:16+00:00

Generalização impossível do Teorema de Ramsey Vamos mostrar que existe uma coloração $\pi: [\omega]^\omega \to \{0, 1\}$ tal que não vale o análogo do Teorema de Ramsey. Ou seja: existe uma maneira de se colorir todos os subconjuntos infinitos de $\omega$ com duas cores, de forma que não exista $X \subset \omega$$[X]^\omega$$(A_\beta)_{\beta < \mathfrak c}$$\omega$$X = \{X_\alpha: \alpha < \mathfrak c\}$$Y = \{Y_\alpha: \alpha < \mathfrak c\}$$\beta < \mathfrak c$$X_\beta$$Y_\beta \subset A_\be…

lista:topologiaordem

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Topologia da ordem Seja $X$ um conjunto totalmente ordenado. Chamamos de a topologia sobre $X$ gerada pelos abertos da forma $$]a, b[ = \{x \in X: a < x \text{ e } x < b\}$$ $$]-\infty, b[ = \{x \in X: x < b\}$$ $$]a, +\infty[ = \{x \in X: a < x\}$$ com $a, b \in X$. Seja $X$ com a topologia da ordem. Seja $x \in X$ tal que existam $a, b \in X$ tais que $a < x$ e $x < b$. Mostre que $x$ é um (isto é, $\{x\}$ é aberto) se, e somente se, existem $\alpha, \beta \in X$$\alpha = \max\{y \in X: …

lista:traducoesds

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Algumas traduções com a dualidade de Stone É melhor você já ter feito a lista da dualidade de Stone antes de fazer essa. Dada uma álgebra de Boole $A$, dizemos que $a \in A$ é um se $a \neq 0$ e não existe $b \in A$ tal que $0 < b < a$. Mostre que $a \in A$ é um átomo se, e somente se, $a^*$ corresponde a um aberto unitário em $s(A)$$s(A)$$A$$\varphi: A \rightarrow B$$f:s(B) \rightarrow s(A)$$f(u) = \varphi^{-1}[u]$$B$$A$$X$$s(A)$$Clop(X)$$Clop(s(B))$$X$$Y \subset X$$X$$\varphi: Clop(Y) \r…

lista:tychonoff

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Teorema de Tychonoff Provavelmente você vai querer saber os resultados das listas de compactos e produtos infinitos. Para ver uma demonstração alternativa (e mais curta) deste resultado, veja essa lista. Seja $X$ um conjunto. Dizemos que $F \subset \wp(X)$ é um sobre $X$ se * $\emptyset \notin F$ (condição de não trivialidade);$a,b \in F$$a \cap b \in F$$a \in F$$b \supset a$$b \in F$$F$$F$$G \supset F$$G = F$$X$$x \in X$$F = \{A \subset X: x \in A\}$$X$$F$$A_1, \ldots, A_n \in F$$\bigcap…

lista:ultraprodutos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Ultraprodutos Seja $X$ um conjunto. Dizemos que uma família não vazia $\mathcal F$ de subconjuntos de $X$ é um sobre $X$ se * $\emptyset \notin \mathcal F$; * se $A, B \in \mathcal F$ então $A \cap B \in \mathcal F$; * se $A \in \mathcal F$ e $A \subset B$, então $B \in \mathcal F$. Um ultrafiltro nada mais é que um filtro maximal, isto é, se $\mathcal{F}$ é um ultrafiltro sobre $X$, então $\mathcal F$$A \subset X$$A \in \mathcal F$$X \setminus A \in \mathcal F$$\mathcal F$$X$$X = \mat…

lista:unicidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Seja $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tal que $\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 5$. Sabemos que $L \in \mathbb R$ satisfaz a seguinte propriedade: \[\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ 0 < x - 3 < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon\]

lista:urysohn

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Lema de Urysohn (demonstração clássica) Provavelmente você quer ver a lista de axiomas de separação e a lista de funções contínuas antes de fazer essa lista. Seja $(X, \tau)$ espaço topológico tal que, para todos $F, G \subset X$ fechados disjuntos, existem $f: X \rightarrow [0, 1]$ contínua tal que $f[F] = \{0\}$ e $f[G] = \{1\}$. Mostre que $X$ é $T_4$. Seja $(X, d)$$A, B \subset X$$d(A, B) = \inf\{d(a, b): a \in A, b \in B\}$$A = \{a\}$$A$$d(A, B)$$d(a, B)$$(X, d)$$(X, d)$$T_4$$A \subset …

lista:urysohntietze

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Este é um roteiro para demonstrar o Lema de Urysohn e o o Teorema de Tietze, vamos utilizar uma proposição para demonstrar ambos. Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço se, para todo $F \subset X$ e $G \subset X$ fechados disjuntos, existem $A$ e $B$ abertos disjuntos tais que $F \subset A$ e $G \subset B$. Dizemos que $X$$X$$T_1$$T_4$$X$$T_4$$F \subset X$$U$$\exists W$$F \subset W \subset \overline{W} \subset U$$(X,\tau)$$T_4$$f : A \rightarrow [0,1]$$A \subset X$$A_r = \{x \in A: f(x)\leq r\}, …

lista:valeatomicas

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Seja $ \phi $ uma fórmula $ \Delta_{0} $ atômica, então $ \phi $ é do tipo $ x = y $ ou $ x \in y $ pois todo termo é variável. Se $ \mathcal{M} \models x = y [\alpha] $, $ \alpha $ valorada em $ M \cap N $ que, em particular, é transitivo. Mas então $ \mathcal{N} \models x = y [\alpha] $ (valoração toma valores em subconjunto transitivo, então igualdade implica meta-igualdade). Seja $ \mathcal{M} \models t \in s [\alpha] $$ \alpha(t) \overset{\text{meta}}{\in} \alpha(s) $$ N $$ \mathcal{N} \…

lista:valorbooleano

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-30T11:59:05+00:00

Valor booleano de fórmulas É melhor você fazer essa lista antes desta. Dentro de uma álgebra de Boole, mostre que $\inf \emptyset = 1$ e $\sup \emptyset = 0$. O objetivo desta lista é determinar o valor $[\![ \varphi ]\!]$ para uma fórmula $\varphi$ da teoria dos conjuntos. Pense nisso como um algoritmo que, fixada uma fórmula, temos como calcular tal valor. Esse procedimento será feito por indução na complexidade das fórmulas. Assim, começamos com as atômicas (as mais simples). Outra coisa …

lista:vizinhanca

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

Vizinhanças Comecemos com uma noção quantitativa de proximidade: Seja $X$ um conjunto. Dizemos que uma função $d: X \times X \rightarrow \mathbb R$ é uma sobre $X$ se, dados $x, y, z \in X$, temos: * $d(x, y) \geq 0$ * $d(x, y) = 0$ se, e somente se, $x = y$ * $d(x, y) = d(y, x)$ * $d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)$ Ao par $(X, d)$ nesta condições, damos o nome de Mostre que $d(x, y) = |x - y|$ é uma métrica sobre $\mathbb R$$\mathbb R$$X$$\mathcal F$$X$$X$$\emptyset \notin \math…

lista:wwmenger

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:10+00:00

$\omega^\omega$ e o jogo de Menger Mostre que $\omega^\omega$ tem base enumerável e conclua que, portanto, é de Lindelöf. Considere $\mathcal O^*$ a coleção de todas as coberturas abertas que são fechadas por uniões finitas (isto é, se $\mathcal C' \subset \mathcal C$ é finito, então $\bigcup_{C \in \mathcal C'} C \in \mathcal C$). Mostre que o jogo de Menger e o jogo $\mathsf G_1(\mathcal O^*, \mathcal O)$$i$$i$$i$$\omega^\omega$$\sigma$

lista:zorn

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-02-25T17:07:50+00:00

Lema de Kuratowski-Zorn (usando) O enunciado do Lema de Kuratowski-Zorn é equivalente ao princípio da boa ordem - para ver sobre isso, veja esta lista. Seja $X$ um conjunto ordenado por $\leq$. * $x \in X$ é um para $Y \subset X$ se, para todo $y \in Y$ temos $y \leq x$; * $C \subset X$ é uma se todos os elementos de $C$$x \in X$$y \in X$$x < y$$X$$X$$X$$F$$\omega$$X$$f, g \in F$$f \cup g \in F$$P$$F$$P = \{A \subset F: \forall f, g \in A$$f$$g$$\}$$P$$P \neq \emptyset$$A$$P$$\bigcup_{…