Topologia e conjuntos em exercícios limites

limites:aplicacoesintermediario

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Algumas aplicações do Teorema do valor intermediário No primeiro resultado, vamos usar o fato que $\lim\limits_{x \to +\infty} x^{2n + 1} = +\infty$ e $\lim\limits_{x \to -\infty} x^{2n + 1} = -\infty$. Proposição Todo polinômio de grau ímpar admite raiz. Dem.: Seja $p(x) = a_{2n + 1}x^{2n + 1} + a_{2n}x^{2n} + \cdots + a_1x + a_0$ com $a_{2n + 1} \neq 0$. Note que \[\lim\limits_{x \to +\infty}p(x) = x^{2n + 1}(a_{2n + 1} + \frac{a_{2n}}{x} + \cdots \frac{a_1}{x^{2n}} + \frac{a_0}{x^{2n + 1}…

limites:calculodefinicao

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Calculando limites pela definição Em breve vamos ver maneiras de facilitar o cálculo de limites. Por enquanto, vamos usar a única ferramenta que temos: a definição. Um exemplo simples Considere $f: \mathbb R \to \mathbb R$ dada por $f(x) = 2x$. Vamos mostrar $\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 6$. Antes de resolvermos de verdade, vamos tentar procurar soluções com casos numéricos. Suponha que nos seja exigido um erro de, no máximo, $2$$2$$4$$0 < |3 - 4| = 1 < 2$$|2 \cdot 4 - 6| = 2 \not < 2$$1$$|3 …

limites:composta

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Composta Limites também “comutam” com composições se as funções forem bem comportadas - veremos mais sobre esse “bom comportamento” no tópico sobre continuidade. Proposição Considere $f, g: \mathbb R \to \mathbb R$. Seja $a \in \mathbb R$. Suponha que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$, $\lim\limits_{x \to L}g(x) = K$ e que $g(L) = K$. Então $\lim\limits_{x \to a} g(f(x))$ existe e é igual a $K$$\varepsilon > 0$$\delta > 0$$x$$0 < |x - a| < \delta$$|g(f(x)) - K| < \varepsilon$$\delta_g > 0$$x$$0…

limites:dominio

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Um pouco sobre os domínios das funções Estamos sendo um pouco relaxados sobre como deve ser o domínio de cada função para se definir o limite. Fizemos isso para manter o foco na parte mais importante. Mas agora vamos discutir um pouco esse aspecto.$a$$a$$a$$a$$\varepsilon$$\delta$$\delta' < \delta$$a$$a$$\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$$r > 0$$]a, a + r[ \subset$$(f)$$\lim\limits_{x \to a^-} f(x)$$r > 0$$]a - r, a[ \subset$$(f)$$\lim\limits_{x \to a} f(x)$$r > 0$$(]a -r, a + r[ \setminus \{a\}) \s…

limites:exercicios

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\sen{\text{sen}}$ Exercícios (de continha) Esses são alguns exercícios misturando várias coisas que vimos. Tente fazer os exercícios antes de ver as resoluções. Seja $k \in \mathbb R$ e considere $f$ dada por \[f(x) = \begin{cases} |4 - 5x| - k & \mbox{se } x \geq 3\\ x^2 + k & \mbox{se } x < 3 \end{cases}\] Para quais valores de $k$ existe $\lim\limits_{x \to 3} f(x)$?Solução Calcule $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sen(x^2)}{x}$Solução Calcule $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\sqr…

limites:exerinfinito

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Alguns exercícios envolvendo limites infinitos Vejamos alguns exercícios misturando o que temos até agora: Exercício $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x}{x + 1} = \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{x}{x(1 + \frac{1}{x})} = 1$ Exercício $\lim_\limits{x \to 0+} \frac{x^3 + 1}{x} = \lim_\limits{x \to 0+} \frac{x(x^2 + \frac{1}{x})} {x} = \lim_\limits{x \to 0+} (x^2 + \frac{1}{x}) = +\infty$ O exercício anterior pode ser feito também da seguinte maneira: \[\lim_\limits{x \to 0+} \frac{x^3 + 1}{x}…

limites:exeroperacoes

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Alguns exercícios resolvidos Vamos apresentar alguns exercícios resolvidos juntando o que temos até o momento. Exercício: Calcule $\lim\limits_{x \to 0} \frac{5x^2 + 3x - 1}{4x - 2}$. \[ \begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to 0} \frac{5x^2 + 3x - 1}{4x - 2} & = & \frac{5\cdot 0 + 3 \cdot 0 - 1}{4 \cdot 0 - 2}\\ & = & \frac{1}{2}\\ \end{array}\] Exercício: Calcule $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^3 + x^2 - x - 1}{x - 1}$. O problema aqui é que está “zerando” tanto em cima como em b…

limites:funcoescontinuas

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\sen{\text{sen}}$ $\def\dom{\text{dom}}$ Funções contínuas Seja $f$ uma função real. Dizemos que $f$ é contínua no ponto $a \in \dom(f)$ se $f(a) = \lim\limits_{x \to a} f(x)$. Dizemos que $f$ é contínua se $f$ é contínua em todos os pontos do seu domínio. Exemplo Com o que já temos sobre limites, é imediato notar que funções como $\sen$$\cos$\[f(x) = \begin{cases} 1 & \mbox{se } x \geq 0\\ -1 & \mbox{se } x < 0\\ \end{cases}\]$0$\[f(x) = \begin{cases} \frac{sen(x)}{x} & \mbox{se $$x \le…

limites:funcoescontinuaselegante

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\dom{\text{dom}}$ Funções contínuas Modo elegante ativado Vimos como definir funções contínuas usando limites. Vamos agora ver um modo alternativo de definir continuidade, mas de uma maneira que é mais fácil de generalizar para outros contextos. Antes de conseguir fazer a definição propriamente dita, precisamos de um conceito base:$A \subset \mathbb R$$x \in A$$r > 0$$]x - r, x + r[ \subset A$$]2, 5[$$x \in ]2, 5[$$r = \min\{5 - x, x - 2\}$$]x - r, x + r[ \subset ]2, 5[$$]0, 2[ \cup ]4, …

limites:fundamental

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\sen{\text{sen}}$ Limite fundamental Mesmo com o maquinário desenvolvido até o momento, não temos uma maneira fácil de resolver o limite \[\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sen(x)}{x}\] Nosso objetivo agora é resolver tal limite. Para isso, vamos usar alguns resultados: * A função $f(x) = \frac{\sen(x)}{x}$ é par - isto é, $f(-x) = f(x)$$x$$\mathbb R_{\neq 0}$$\lim\limits_{x \to 0} \cos(x) = 1$$A(x)$$A(x)$$r$$x$$\pi r^2$$A(x) = kx$$k$$k$$x = 2\pi r$$A(2\pi r) = \pi r^2$$k2\pi r = \pi r^2$$…

limites:infinito

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Para o infinito e além! Pode ser que quando $x$ se aproxima de um determinado ponto $a$, o valor de $f(x)$ fica arbitrariamente grande - intuitivamente, ele vai ficando não só cada vez maior, como maior que qualquer valor que tentássemos estipular. Essa é a ideia que a próxima definição tenta capturar.$\frac{1}{|x|}$$x$$0$$f$$f(x)$$+\infty$$x$$a$\[\forall M > 0 \ \exists \delta > 0 (0 < |x - a| < \delta \Rightarrow f(x) > M)\]\[\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty\]$f(x) = \frac{1}{|x - 2|}$$\l…

limites:intuicaofund

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Se você der a volta inteira, a área é a da figura inteira. Se der meia volta, meia área. Um quarto de volta, um quarta de área etc.

limites:inversas

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\Im{\text{Im}}$ Funções inversas Dizemos que uma função $f$ é estritamente crescente se, para todo $a < b$ no domínio de $f$, temos que $f(a) < f(b)$. Analogamente, definimos estritamente decrescente. Proposição Sejam $I$ um intervalo e $f: I \to \Im(f)$ uma função contínua. Então $f$ é bijetora se, e somente se, $f$$f$$f$$f$$a, b, c \in I$$a < b < c$$f(a) < f(b)$$f(c) < f(b)$$f(b) < f(a)$$f(b) < f(c)$$f(a) < f(c)$$x_1 \in [a, b]$$f(x_1) = f(c)$$f(c) < f(a)$$x_2 \in [b, c]$$f(a) = f(x_2)…

limites:laterais

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Limites laterais Pense no fato de $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ como “$f(x)$ se aproxima de $L$ conforme $x$ se aproxima de $a$”. Note que $x$ pode se aproximar de $a$ por dois caminhos: * tomando valores em $]a, +\infty[$ (que chamamos de se aproximar por cima); * como em $]-\infty, a[$ (que chamamos de se aproximar por baixo). $f: A \to \mathbb R$$A \subset \mathbb R)$$f$$L$$x$$a$$\varepsilon > 0$$\delta > 0$$x \in A$$x > a$\[0 < x - a < \delta \Rightarrow |L - f(x)| < \varepsilon\]…

limites:limitadas

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$\def\sen{\text{sen}}$ Funções limitadas Dizemos que uma função real $f$ é uma função limitada se existe $L > 0$ tal que, para todo $x \in \mathbb R$, $|f(x)| \leq L$. Neste caso dizemos que $L$ é um limitante para $f$. Em todos os limites aqui considerados, quando indicamos $x \to a$, $a$ pode ser tanto um número real, como $+\infty$$-\infty$$\sen: \mathbb R \to \mathbb R$$\cos: \mathbb R \to \mathbb R$$1$$f$$A, B \in \mathbb R$$x$$A < f(x) < B$$f$$f$$\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0$$\lim\li…

limites:maximo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\dom{\text{dom}}$ Máximos e mínimos Seja $f$ uma função. Dizemos que $M$ é o máximo de $f$ se $M = \max\{f(x): x \in \dom(f)\}$. Se $M$ é o máximo e $x$ é tal que $f(x) = M$, chamamos $x$ de maximizador. Analogamente, definimos mínimo e minimizador. Exemplo Considere $f: [-1, 2] \to \mathbb R$ dada por $f(x) = x^2$. Note que $4$ é o máximo de $f$ e $2$ é um maximizador.$f(x) = \frac{1}{x}$$\mathbb R_{\neq 0}$$x$$\frac{1}{x}$$f$$f: [a, b] \to \mathbb R$$x_1, x_2 \in [a, b]$$f(x_1) \leq f(…

limites:motivacao

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Motivação e definição Primeira motivação Suponha que temos uma situação onde uma função $f: A \to \mathbb R$ ($A \subset \mathbb R$) nos calcula algo. Mas, por algum motivo, existe um $x_0 \in A$ tal que não sabemos quanto vale $f(x_0)$ - mas sabemos quanto vale $f(x)$ para diversos pontos próximos de $x_0$$f(x_0)$$f$$1m^2$$f$$1$$L_1$$0,1$$0,05$$1$$L_1$$0,01$$0,000002$$2$$L_2$$0,1$$0,1$$1kg$$L_1$$0,1$$1kg$$0,01$$0,000002$$2kg$$0,1$$1kg$$f$$0,95kg$$|f(1) - T| < 0,05$$T$$1,2kg$$|f(1) - T| < 0,05…

limites:mudancavariavel

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$\def\sen{\text{sen}}$ Mudança de variável Teorema Considere $I$ e $J$ intervalos abertos. Seja $t: I \to J$ uma bijeção contínua. Sejam $a \in I$ e $b = t(a)$. Seja $f: J \setminus \{b\} \to \mathbb R$ uma função e seja $L$ um número real ou $+\infty$ ou $-\infty$. Então $\lim\limits_{y \to b} f(y) = L$ se, e somente se, $\lim\limits_{x \to a} f(t(x)) = L.$ $L$$\lim\limits_{y \to b} f(y) = L$$\varepsilon > 0$$\lim\limits_{y \to b} f(y) = L$$\delta_1 > 0$\[0 < |y - b| < \delta_1 \Rightarrow |…

limites:operacoes

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Operações básicas Vamos juntar vários resultados anteriores para “montar novos limites”. Antes de olhar esse material, é melhor você estar familiarizado com somas e produtos de limites, com composição de limites bem como os limites envolvendo a função $\frac{1}{x}$. Proposição Sejam $f, g$ funções reais tais que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$ e $\lim\limits_{x \to a} g(x) = B$. Temos: * $\lim\limits_{x \to a} kf(x) = kA$$k \in \mathbb R$$\lim\limits_{x \to a} -f(x) = -A$$\lim\limits_{x \t…

limites:poucotrigo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\sen{\text{sen}}$ Um pouco de trigonometria Parte da argumentação inicial desta parte se baseará em argumentos mais intuitivos: mas a formalização disso será feita posteriormente. Considere $c: \mathbb R \to \mathbb R^2$ a função definida da seguinte forma * $c(0) = (1, 0)$; * $c(t) = (x, y)$ para $t \neq 0$: aqui temos dois casos. Se $t > 0$$(0, 0)$$t$$t < 0$$(x, y)$$c$$\sen, \cos: \mathbb R \to \mathbb R$$(x, y) = c(t)$$\cos(t) = x$$\sen(t) = y$$c$$a, b \in \mathbb R$$|\cos(a) - \…

limites:preservacaosinal

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\dom{\text{dom}}$ Preservação de sinal Em algum sentido, o próximo resultado nos diz que se uma função contínua é positiva em determinado ponto, então há uma margem de segurança em que ela permanece positiva. Teorema Seja $f$ uma função contínua. Se existe $c \in I$$f(c) > 0$$\delta > 0$$x \in ]c - \delta, c + \delta[ \cap \dom(f)$$f(x) > 0$$k = f(c)$$k > 0$$f$$\varepsilon = \frac{k}{2}$$\delta > 0$$x$$f$$|x - c| < \delta$$|f(x) - f(c)| < \varepsilon$$f(x) > 0$$x \in \dom(f)$$|x - c| …

limites:raizes

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Raízes Dado $n \in \mathbb N_{>1}$, denotamos por $\sqrt[n]{x}$ a inversa de $g(y) = y^n$ em $[0, + \infty[$. Note que $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$. Proposição Dado $n > 1$, temos que a função $f: [0, + \infty[$ dada por $f(x) = \sqrt[n]{x}$ é contínua. Dem.: Note que $f(x) = g^{-1}(x)$, onde $g: [0, +\infty[ \to [0, +\infty[$ é dada por $g(y) = y^n$. Assim, como $g$ é estritamente crescente, concluímos pelos resultados anteriores que $f$ é contínua em $[0, +\infty[$$n > 1$$a \…

limites:sanduiche

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\sen{\text{sen}}$ Teorema do sanduíche Teorema Sejam $f$, $g$ e $h$ funções reais tais que, para todo $x$ de seus domínios temos \[f(x) \leq g(x) \leq h(x)\] Dado $a \in \mathbb R$ (também podendo ser $+\infty$ ou $-\infty$) temos que, se $\lim\limits_{x \to a}f(x) = \lim\limits_{x \to a}h(x) = k$, então $\lim\limits_{x \to a} g(x) = k$ (onde $k$ é um número real). Dem.: Vamos fazer o caso em que $a \in \mathbb R$, os outros casos são análogos. Fixe $\varepsilon > 0$$\lim\limits_{x \to…

limites:somaproduto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Soma e produto Suponha que você já saiba lidar com limites de funções como $f(x) = x$ e $g(x) = 3$. Deveria haver uma maneira simples de se poder lidar com limites de funções como * $h(x) = x + 3$ * $p(x) = 3x$ * $q(x) = x^2$ certo? Afinal, $h(x) = f(x) + g(x)$, $p(x) = f(x)g(x)$ e $q(x) = f(x)f(x)$. É exatamente sobre esse tipo de construção que vamos trabalhar agora.$f, g$$\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$$\lim\limits_{x \to a} g(x) = B$$\lim\limits_{x \to a} (f(x) + g(x)) = A + B$$\lim…

limites:somaprodutoinfinito

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Soma e produto com limites infinitos Podemos estender o resultado anterior para o caso de limites onde o “$x$ tende ao infinito”: Proposição Sejam $f, g$ funções reais tais que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$ e $\lim\limits_{x \to a} g(x) = B$ onde $A, B \in \mathbb R$ e $a$ pode tanto ser um valor real, como $+\infty$ ou $-\infty$. Temos: * $\lim\limits_{x \to a} (f(x) + g(x)) = A + B$; * $\lim\limits_{x \to a} (f(x) g(x)) = AB$. A demonstração da proposição acima é muito parecida com…

limites:umsobrex

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

A função $\frac{1}{x}$ Já vimos que multiplicação e soma se comportam bem com relação a limites. Ainda falta ver que $f(x)$ e $g(x)$ são “bem comportadas”, podemos calcular diversos limites de $\frac{f(x)}{g(x)}$. Para podermos usar os resultados sobre composição de funções, o seguinte resultado será bastante útil:$f: \mathbb R_{\neq 0} \to \mathbb R$$f(x) = \frac{1}{x}$$k \in \mathbb R_{>0}$$\lim\limits_{x \to k} f(x) = \frac{1}{k}$$\varepsilon > 0$$\delta > 0$$x \neq 0$$0 < |x - k| < \delta$$…

limites:unicidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Unicidade A gente fez um abuso até o momento, se dizemos que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$, implicitamente está dito também que $\lim\limits_{x \to a} f(x) \neq c$, se $b \neq c$. Isso de fato ocorre, é o que vamos ver agora. Proposição Fixe $a \in \mathbb R$ e $f$ uma função. Se $L, M$ são números reais tais que ambos satisfazem a definição de $\lim\limits_{x \to a} f(x)$$L = M$$L$$M$$f$$a$$L = M$$\Delta = |L - M|$$L$$\delta_1 > 0$$x$\[0 < |x - a| < \delta_1 \Rightarrow |f(x) - L| < \frac{…

limites:valorintermediario

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Teorema do valor intermediário O próximo resultado é uma propriedade particular dos números reais. Na verdade, dependendo do contexto em que estivermos, o enunciado de tal teorema faz parte da definição do conjunto dos reais. Teorema (dos intervalos encaixantes)$(I_n)_{n \in \mathbb N}$$I_n = [a_n, b_n]$$n \in \mathbb N$$[a_{n + 1}, b_{n + 1}] \subset [a_n, b_n]$$a_n \leq a_{n + 1} \leq b_{n + 1} \leq b_n$$x \in \bigcap_{n \in \mathbb N} I_n$$n \in \mathbb N$$I_n = [0, \frac{1}{n}]$$\bigcap_{n…