Topologia e conjuntos em exercícios integral

integral:eirracional

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

O número $e$ é irracional Podemos usar o polinômio de Taylor para aproximar o valor de $e$. Considere o polinômio de Taylor de grau $n$ centrado em $0$ da função $f(x) = e^x$: \[\begin{array}{rcl} p(x) & = & f(0) + f'(0)(x - 0) + f''(0)\frac{(x - 0)^2}{2} + \cdots + f^{(n)}\frac{(x - 0)^n}{n!}\\ & = & 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!}. \end{array}\] Com isso, podemos mostrar o seguinte resultado: Proposição O número $e$ é irracional. Dem.: Pela fórmula de Taylor existe $\sigm…

integral:exercicios

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\sen{\text{sen}}$ Exercícios (de continha) * Como $(e^x)' = e^x$, temos que $\int e^x dx = e^x + k$. * Como $(a^x)' = a^x \ln a$, temos que $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + k$. * Note que, para $x < 0$, como $(\ln |x|)' = (\ln (-x))' = - \frac{1}{-x} = \frac{1}{x}$ e, se $x > 0$, $(\ln |x|)' = \ln x = \frac{1}{x}$, temos que $(\ln |x|)' = \frac{1}{x}$ para $x \neq 0$. Assim, $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + k$. Determine $\int_a^b e^{2x}dx$ Solução Determine $\int_0^1 x e^{3x^…

integral:exponencial

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Exponencial Como $\ln x$ é estritamente crescente, faz sentido a seguinte definição: Chamaremos de $\exp: \mathbb R \to ]0, +\infty[$ a inversa da função $\ln: ]0, +\infty[ \to \mathbb R$. Ou seja, $y = \exp x$ se, e somente se, $x = \ln y$. Note que $\exp 1 = e$ e $\exp 0 = 1$. Proposição Dados $x, y \in \mathbb R$, temos que $\exp(x + y) = \exp x \exp y$. Dem.: Sejam $a = \exp x$ e $b = \exp y$. Note que $x = \ln a$ e $y = \ln b$. Assim \[\exp(x + y) = \exp(\ln a + \ln b) = \exp(\ln(ab…

integral:fundamental

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Teorema fundamental do Cálculo Denotaremos por $\int_b^a f(x)dx$ a expressão $-\int_a^b f(x) dx$ se $a < b$. Segue da definição de integral e da notação acima que: Proposição Sejam $a, b, c \in I$, não importando qual a ordem entre eles. Então \[\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx\] Vamos usar as seguintes propriedades de integrais - elas valem basicamente pois suas versões análogas para as somas parciais valem:$f, g : I \to \mathbb R$$a < b$$\int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x) …

integral:improprias

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\sen{\text{sen}}$ Integrais impróprias Dada $f: [a, +\infty[ \to \mathbb R$ integrável em qualquer intervalo $[a, b]$, definimos \[\int_a^{+\infty}f(x)dx = \lim\limits_{t \to +\infty} \int_a^t f(x)dx\] se tal limite existir. No caso em que esse limite é um número real, dizemos que a integral converge, caso contrário, dizemos que ela diverge. A definição $-\infty$ é análoga.\[\int_0^{+\infty} e^{-x}dx = \lim\limits_{t \to +\infty} \int_0^t e^{-x}dx = \lim\limits_{t \to +\infty} (-e^{-x})|_…

integral:impropriasii

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Integrais impróprias II Um erro comum é o seguinte: $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx = (-\frac{1}{x})|_{-1}^1 = -2$. Qual é o erro? Por enquanto, só trabalhamos com integrais de funções limitadas (pois contínuas num intervalo fechado). Mas ainda assim podemos tentar calcular em pontos de ilimitação: $f: [a, b[ \to \mathbb R$$f$$[a, c]$$c$$a < c < b$\[\int_a^b f(x) dx = \lim\limits_{t \to b^-} \int_a^t f(x) dx\]$]a, b]$$f(x) = \frac{1}{x}$$\int_0^1 \frac{1}{x}dx = \lim\limits_{t \to 0^+} \int_t^1 …

integral:logaritmo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Logaritmos Nosso objetivo agora é definir a função logaritmo. O caminho vai ser bem indireto e a sua conexão com as funções com as quais já estamos acostumados vai vir só depois. Vamos definir a seguinte função $F: ]0, +\infty[ \to \mathbb R$ dada por \[F(x) = \int_1^x\frac{1}{t}dt\] Começamos provando algumas propriedades sobre ela:$a, b, c > 0$\[\int_{ac}^{bc} \frac{1}{t}dt = \int_a^b \frac{1}{t}dt.\]$v(t) = ct$$dv = cdt$\[\int_a^b \frac{1}{t} dt = \int_a^b \frac{c}{ct}dt = \int_{ac}^{bc} …

integral:motivacao

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Motivação Vamos tentar calcular a média de uma função contínua num intervalo $[a, b]$. Uma primeira aproximação seria \[\frac{f(a) + f(b)}{2} = \frac{1}{2}f(a) + \frac{1}{2} f(b)\] Poderíamos também fazer uma estimativa “por baixo” e uma “por cima”: a “por baixo” seria \[\frac{1}{2} m_1 + \frac{1}{2} m_2\] onde $m_1 = \min\{f(x): x \in [a, \frac{a + b}{2}]\}$ e $m_2 = \min[f(x): x \in \frac{a + b}{2}, b]$. A “por cima\[\frac{1}{2} M_1 + \frac{1}{2} M_2\]$M_1 = \max\{f(x): x \in [a, \frac{a…

integral:mudancavariavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\sen{\text{sen}}$ Mudança de variável Teorema (Mudança de variável) Sejam $f$ integrável e $\varphi$ diferenciável. Então \[\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) dx = \int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)dt\] Dem.: Seja $F$ uma primitiva de $f$. Assim \[\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) dx = F(\varphi(b)) - F(\varphi(a)).\] Note que $F(\varphi(t))' = F'(\varphi(t))\varphi'(t) = f(\varphi(t))\varphi'(t)$. Ou seja, $F(\varphi(t))$ é uma primitiva de $f(\varphi(t))\varphi'(t)$. Logo \[\int_a^b…

integral:partes

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\sen{\text{sen}}$ Integral por partes Proposição Sejam $u, v: [a, b] \to \mathbb R$ funções com a primeira derivada contínua. Temos \[\int_a^b u(x)v'(x) dx = u(x)v(x)|_a^b - \int_a^b v(x)u'(x)dx.\] Dem.: Como $u(x)v(x)$ é primitiva de $u(x)v'(x) + u'(x)v(x)$, temos que \[u(x)v(x)|_a^b = \int_a^b u(x)v'(x) + u'(x)v(x)dx.\]$\square$ Jeito mnemônico: $\int udv = uv - \int vdu$. Exemplo Considere $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos x dx$. Façamos $u(x) = x$ e $v'(x) = \cos x$. Assim, $u'(x) = …

integral:primitivas

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\sen{\text{sen}}$ $\def\arcsen{\text{arcsen}}$ Algumas primitivas Dizemos que $F$ é uma primitiva de $f$ se $F'(x) = f(x)$ para todo $x$. Exemplo Temos que uma primitiva para $x^2$ é $\frac{1}{3}x^3$. Em geral, para $q \in \mathbb Q$, com $q \neq -1$, temos que uma primitiva para $x^q$ (onde se pode fazer a conta) é $\frac{1}{q + 1}x^{q + 1}$. De fato, $(\frac{1}{q + 1}x^{q + 1})' = \frac{q + 1}{q + 1}x^q = x^q$. Como soma de derivadas é a derivada da soma, obtemos que se $F$$f$$G$$g$$…

integral:propriedadesexponencial

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Algumas propriedades da exponencial e do logaritmo Dado $a > 0$, como $(a^x)' = a^x \ln a$ e $a^x > 0$, temos que o sinal de $(a^x)'$ é determinado por $\ln a$. Assim, tal derivada é positiva se $a > 1$ e negativa se $a < 1$. Da observação anterior, podemos definir: Seja $a > 0$ com $a \neq 1$. Definimos $\log_a: ]0, +\infty[ \to \mathbb R$ a função inversa de $a^x$$\log_a x = y$$a^y = x$$a \neq 1$$a^x$$a > 0$$a \neq 1$$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$$x > 0$$x = a^{\log_a x} = e^{\log_a x \l…

integral:valormedio

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Teorema do valor médio (para integrais) Teorema (valor médio para integrais) Sejam $f: [a, b] \to \mathbb R$ contínua. Então existe $c \in ]a, b[$ tal que \[\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a).\] Dem.: Seja $F$ uma primitiva de $f$. Então $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$. Pelo Teorema do valor médio, temos que $F(b) - F(a) = F'(c)(b - a)$ para algum $c \in ]a, b[$. Lembrando que $F'(x) = f(x)$, temos $\int_a^b f(x) = f(c)(b - a)$.$\square$ Pensando que $\frac{1}{b -a} \int_a^b f(x) dx$ é a média da…