Topologia e conjuntos em exercícios dica

dica:2a

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-30T12:15:04+00:00

$\displaystyle [\![ \exists y \in \dot{x} \varphi(y) ]\!] = \sup_{t}[\![ t \in \dot{x} \wedge \varphi(t) ]\!]$

dica:2b

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-30T12:18:45+00:00

$\displaystyle [\![ \forall y \in \dot{x} \varphi(y) ]\!] = \inf_{t}[\![ t \in \dot{x} \Longrightarrow \varphi(t) ]\!]$

dica:a

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Use indução na complexidade de $\varphi$

dica:achara

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Use a compacidade.

dica:anticadeiagrande

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Suponha que exista uma anticadeia não enumerável. Olhe para as primeiras coordenadas dos elementos da anticadeia.

dica:b

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-30T12:14:17+00:00

Lembre que $[\![ a=a \wedge \varphi(a) ]\!] = [\![ \varphi(a) ]\!]$ e use o item anterior.

dica:bairecompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Fixe um aberto não vazio. Use este exercício (infinitas vezes) e construa uma sequência decrescente de fechados, cada um contido num dos abertos densos.

dica:bairecompleto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Fixe um aberto não vazio. Use este exercício (infinitas vezes) e construa uma sequência de Cauchy dentro de fechados dentro dos densos.

dica:baireimplicanao1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Note que $\bigcap_{n\in\omega} A_n\neq \emptyset$.

dica:bairetheortip

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Use o Teorema de Baire.

dica:baseenumeravelseparavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Escolha um elemento em cada elemento da base. Voltar ao exercício.

dica:cadaandarehdenso

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Mostre que $A_{n+1}$ é um aberto denso em $A_n$ para todo $n\in\omega$.

dica:chr2conjunto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Considere $A = \{(x, y) \in \mathbb R^2: x \preceq y\}$.

dica:coberturaesperta

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Dada uma cobertura para $K_s$, tome um refinamento “esperto” para a cobertura usando a regularidade de $X$ e elementos da base $\mathcal{B}$. Em seguida, para cada $x\in X\setminus K_s$, escolha um aberto de $\mathcal{B}$ que contenha $x$ e cujo fecho não intercepte $K_s$. Use o fato de $\sigma$ ser estratégia para o jogador II para concluir.

dica:coberturav

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Seja $x\in X$ para cada $\tau\in^{m}j$ tome $k_{\tau}$ tal que $x\in U_{\tau^{\frown}k_{\tau}}$ e seja $k=max\{k_{\tau}\}$.

dica:coberturaw

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Para mostrar que $W_k^n(m,j)\subset W_{k+1}^n(m,j)$ seja $x\in W_k^n(m,j)$ então existe $f\in A_{j,k}^n$ tal que $x\in V_{f(1)}(m,f(0)),\ldots,V_{f(\ell-1)}(m+\ell-2,f(\ell-2))$ onde $dom(f)=\ell$ e $f(\ell-1)=k$. Defina $g:\ell\rightarrow\omega$ tal que $g(a)=f(a)$, $a<\ell-1$ e $g(\ell-1)=k+1$.

dica:colecaodesucessoresehdensa

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Use a maximalidade da família $\mathcal B_t$.

dica:compact1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Use o Lema de Zorn.

dica:compactocentrada

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Trabalhe com os complementares do elementos.

dica:compactoehregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Para cada $y \in K$, defina $A_y$ e $B_y$ abertos disjuntos tais que $x \in A_y$ e $y \in B_y$.

dica:compactot2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Fixe $x \notin F$. Você precisa encontrar $V$ aberto tal que $x \in V$ e $V \cap F = \emptyset$. Para cada $y \in F$, fixe $V_y$ e $W_y$ abertos disjuntos tais que $x \in V_y$ e $y \in W_y$.

dica:complementargrande

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Se $(s, F) \in \mathbb P$, então $\omega \smallsetminus \bigcup F$ é infinito.

dica:confinalidica

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-09-03T15:44:47+00:00

Para mostrar a volta, lembre-se das seguintes definições: Um ordinal $\kappa$ é um cardinal se não há bijeção entre ele e nenhum de seus segmentos iniciais. Dado um cardinal $\kappa$ e $x \in \kappa$. O conjunto $X = \{y \in \kappa: y \leq x \}$ é um segmento inicial de $\kappa$.

dica:construindo_o_contraexemplo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Para mostrar a propriedade 4, mostre primeiro que $A_{n+1}$ é denso em $A_n$.

dica:contconex

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Conexidade.

dica:continuaconverge

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Use a definição de ser contínua no ponto $x$.

dica:copiaestrategia

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Lembre-se: se $a \in u$, então $a \setminus F \in u$ para qualquer $F$ finito.

dica:crescfun

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-25T21:57:22+00:00

Mostra por indução transfinita que existe uma família que satisfaz (2) e (3). Depois mostra que existe uma família que satisfaz (1), (2) e (3).

dica:crittarski

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Pelo resultado anterior, basta verificarmos (usando indução) para as fórmulas com quantificadores.

dica:deltaenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Faça uma família de subconjuntos de $\omega$ cuja intersecção vá “aumentando”.

dica:demorgan

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Lembre-se das Leis de De Morgan: Se $A,B \subset X$, então: $$(A \cap B)^c = A^c\cup B^c$$ $$(A \cup B)^c = A^c\cap B^c$$ Onde $A^c = X \backslash A$

dica:densidadeabaixo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Lembre que se $p\in\mathbb P$ e $\phi$ uma fórmula. Entao existe $q\leq p $ tal que $q\vDash \phi$ ou $q\vDash \neg\phi$. Alem disso também lembre que $1\vDash \phi$ se e somente se $D=\{q\in\mathbb P : q\vDash \phi \}$ é denso abaixo de $1$.

dica:denso1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-28T11:36:39+00:00

Da definição temos $\displaystyle [\![ \exists x \,\, x \in \check{D} \wedge x \in \dot{G} ]\!] = \sup_{t} [\![ t \in \check{D} ]\!] [\![ t \in \dot{G} ]\!].$ Suponha, por absurdo, que $[\![ \exists x \,\, x \in \check{D} \wedge x \in \dot{G} ]\!] =a$, com $a \neq 1$. Como $-a \neq 0$ e $D \subseteq \mathcal{A}$ é denso, então existe $d \in D$ tal que $d \leq -a$. Segue então que $[\![ \check{d} \in \check{D} ]\!] [\![ \check{d} \in \dot{G} ]\!] = d \leq a = [\![ \exists x \,\, x \in \check{D}…

dica:disjuntacontinua

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Lembre que $\mathbb Q$ é enumerável.

dica:divideemdois

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-20T17:41:05+00:00

Suponha que não. Divida a reta em duas, depois tome a metade não enumerável e divida em duas (vai ter só uma não enumerável). Divida em duas tal metade e continue. Mostre que a reta será a união de conjuntos enumeráveis.

dica:duasseq

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Suponha por contradição que não. Construa sequências.

dica:ehtodomundo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Suponha que não.

dica:enumcompactopseudocompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Suponha que não, encontre uma sequência sem pontos de acumulação.

dica:enumeravelehlimitado

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Suponha que não. Escreva $A = \{a_n: n \in \omega\}$. Considere $B_n = \{\xi \in \omega_1: \xi < a_n\}$. Mostre que $\omega_1 = \bigcup_{n \in \omega} B_n$.

dica:enumfechpro

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-06-16T14:54:25+00:00

Note que para cada $p' \leq p$ e para cada ordinal $\dot{\alpha}$ escolhido pelo jogador 1, existe uma condição $q \leq p'$ escolhendo um $B$ tal que $q \Vdash \dot{\alpha} = B$.

dica:equivcompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Use a caracterização de compacidade fica família de fechados.

dica:estendemad

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Lema de Zorn.

dica:estenderaordem

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Dica Para estender $f$, devemos definir $f(a_{n+1})$. Visando preservar a ordem dos elementos de $\{a_0,a_1,a_2,a_3,\dots,a_{n+1}\}$, devemos considerar os seguintes casos: $a_{n+1}$ é o maior elemento de $\{a_0,a_1,a_2,a_3,\dots,a_{n+1}\}$ com respeito a ordem desse conjunto (lembre-se que $Y$ não admite maior elemento). $a_{n+1}$ é o menor elemento de $\{a_0,a_1,a_2,a_3,\dots,a_{n+1}\}$$Y$$a_i$$a_j$$a_i < a_{n+1} < a_j$$Y$

dica:estrat_parte_da_inducao

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Tome $\mathcal{A}$ como no exercício anterior e utilize o exercício $1$ para encontrar uma subfamília maximal $\mathcal{A}_{max}$ de abertos dois a dois disjuntos. Considere então os conjuntos $\sigma^{-1}(A)\cap\{t^\smallfrown V: V\subset \sigma(t)\}$ para cada $A\in\mathcal{A}_{max}$ e utilize neles uma função escolha para garantir a injetividade.

dica:exemplo1.1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Lembre que a fórmula “$\alpha$ é um ordinal” é $\Delta_{0}$

dica:familiacentrada

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Mostre que cada subconjunto finito está dentro de um ultrafiltro usando a hipótese do absurdo.

dica:familiadisjunta

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Note que se $\overline{V_\alpha} \supsetneq \overline{V_\beta}$, então $V_\alpha \smallsetminus \overline{V_\beta} \neq \emptyset$.

dica:familiatamanhocontinuo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Lembre-se de que $\mathbb{Q}$ é enumerável.

dica:fechadoint

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Use o Teorema de Baire.

dica:filtro1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Lembre $(\check{1},1)\in \dot{G}$

dica:filtro2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-28T11:23:59+00:00

Basta mostrar que $[\![ \forall p \in \dot{G} \,\, \forall q \in \dot{G} ]\!] \leq [\![ \exists r \in \dot{G} \,\, r \leq p \land r \leq q ]\!]$. Comece mostrando que fixados $a,b \in \mathcal{A}$ temos $[\![ \check{a} \in \dot{G} \land \check{b} \in \dot{G} ]\!] \leq [\![\exists c \in \dot{G} \,\, c \leq \check{a} \land c \leq \check{b} ]\!]$.

dica:filtro3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-28T11:30:23+00:00

Basta mostrar que $[\![ \forall p \in \dot{G} \,\, \forall q \in \check{\mathcal{A}} \,\, p\leq q ]\!] \leq [\![ q \in \dot{G} ]\!]$. Comece mostrando que fixados $a,b \in \mathcal{A}$ temos $[\![ \check{a} \in \dot{G} \land \check{b} \in \check{\mathcal{A}} \land \check{a} \leq \check{b} ]\!] \leq [\![ \check{b} \in \dot{G} ]\!]$.

dica:final1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Indução na complexidade da fórmula.

dica:fnccc

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Suponha que não e use o Lema do $\Delta$-sistema.

dica:formula1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Indução sobre as complexidades das fórmulas.

dica:funcaoesperta

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Fixe $m\geq0$ e para cada $j>0$ defina $f_j(n)=t_{m,j}(n)$ e construa $f^m\in^{\omega}\omega$ como: $f^m(0)=0$ e para $n>0$ $f^m(n)=\sum_{j=1}^{n}f^j(n)+1$. Defina $\tilde{s}(p)=\sum_{x+y=p}f^y(x)$ e $s(p)=max\{\tilde{s}(a)+1:a\leq p\}$.

dica:funcaosequencias

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Tietze

dica:funnem

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Suponha por contradição que $2^\omega = \{f_n: n \in \omega\}$.

dica:genimram1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-05T00:44:42+00:00

Similar ao que é feito no último exercício da lista Conjuntos de Bernstein.

dica:hfechado

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Veja este exercício.

dica:i

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-28T11:06:54+00:00

Lembrando que $\forall x \in S \,\, x \cup \{x\} \in S$ é uma notação para $\forall x (x \in S \Rightarrow x \cup \{x\} \in S)$. Pelas definições de valoração temos $$[\![ \varphi ]\!] = \sup_{\tau} [\![ \emptyset \in \tau \wedge (\forall x \in \tau \,\, x \cup \{x\} \in \tau) ]\!]$$ Como “$\emptyset \in \omega \wedge (\forall x \in \omega \,\, x \cup \{x\} \in \omega)$” é uma fórmula $\Delta_0$ que vale em ZFC, então $[\![ \check{\emptyset} \in \check{\omega} \wedge (\forall x \in \check{\o…

dica:iipontoaberto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Use este exercício para dar uma cobertura para $X$ (essa é a primeira jogada). Note que, ao escolher um aberto desta cobertura, o jogador II está escolhendo o ponto a quem o aberto estava associado.

dica:iirothbergeripontoaberto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Suponha que não. Construa uma cobertura e veja o que $\sigma$ responde para ela.

dica:ilimitada

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Construa uma $g$ de forma que $g(0)$ seja maior que $f_0(0)$; $g(1)$ seja maior que $f_0(1)$, $f_1(1)$ e que $g(2)$ seja maior que $f_0(2), f_1(2), f_2(2)$ etc.

dica:inclusaototal

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Mostre por indução sobre $\alpha$.

dica:induc

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Use indução.Note que se $t\in dom (\dot{G})$ , então $t=\check{s},s\in A$.Logo considere os casos em que $a=s$ e $a\not= s$

dica:inducao

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-28T11:11:55+00:00

Você deve demonstrar todos os resultados ao mesmo tempo, usando indução, ou seja, para $x$ e $y$, suponha que os quatro resultados sejam válidos para $t \in \text{dom}(\check{y})$ e $s \in \text{dom}(\check{x})$. Lembre-se que se $t\in \text{dom}(\check{y})$, então $t=\check{a}$, para algum $a \in y$.

dica:inducaocores

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Use uma $n$-coloração de $2$ cores que dê $0$ se a coloração original for menor que $m$ e $1$ se a coloração original for $m$.

dica:inducaonosnomes

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-02-19T11:09:13+00:00

Você deve demonstrar todos os resultados ao mesmo tempo, usando indução, ou seja, para $x$ e $y$, suponha que os três resultados sejam válidos para $a$ e $y$ onde $a \in \text{dom}(x)$; e para $x$ e $b$ onde $b \in \text{dom}(y)$.

dica:infinito

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Escreva $X = \{x_n: n \in \omega\}$. Defina a função “jogando fora” os repetidos.

dica:infsupvazio

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-02-19T11:10:33+00:00

Lembre-se que $\inf \emptyset = 1$ e $\sup \emptyset = 0$.

dica:intervalossuslin

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Use a não separabilidade.

dica:irramenger

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Considere abertos da forma $V_n^k = \{f \in \omega^\omega: f(n) \leq k\}$.

dica:isomorfismocomq

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Dica Use a enumerabilidade de $X$ para escrever $X = \{a_0,a_1,a_2,a_3,\dots\}$ e construa $f$ recursivamente com base no exercício anterior.

dica:isotodense

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Use o item anterior.

dica:lemadeltasistema