Topologia e conjuntos em exercícios derivada

derivada:algumastrigo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\sen{\text{sen}}$ Algumas funções trigonométricas Veremos para frente formas de “juntar” derivadas que já sabemos calcular para descobrir novas derivadas - mais ou menos como fizemos com limites. Mas, assim como lá, alguns primeiros casos terão que ser feitos via definição. Vamos fazer então os casos de $\sen(x)$$\cos(x)$\[\sen(a + b) = \sen(a)\cos(b) + \cos(a)\sen(b)\]$\sen'(x_0)$\[\begin{array}{rcl} \sen'(x_0) & = & \lim\limits_{h \to 0}\frac{\sen(x_0 + h) - \sen(x_0)}{h}\\ & = & \lim\l…

derivada:cadeia

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\sen{\text{sen}}$ Regra da cadeia Vamos tentar calcular $(f(g(x_0)))'$ para $f$ e $g$ diferenciáveis (pense em calcular a derivada de $f \circ g$ no ponto $x_0$). Suponha por um momento que $g(x) \neq g(x_0)$ para todo $x \neq x_0$. Com isso, podemos escrever: (faça $a = g(x)$) \[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} & = & \lim\limits_{a \to g(x_0)} \frac{f(a) - f(g(x_0))}{a - g(x_0)}\\ & = & f'(g(x_0))\\ \end{array}\] Assim, ainda supond…

derivada:continuidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Continuidade $\times$ diferenciabilidade O próximo exercício deixa a demonstração do resultado a seguir mais limpa. Seja $f$ uma função definida num intervalo aberto $A$. Sejam $a \in A$ e $k \in \mathbb R$. Mostre que $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ existe e é igual a $k$ se, e somente se, $\lim\limits_{x \to a}(f(x) - k) = 0$. Proposição$x_0$$f: A \to \mathbb R$$x_0 \in A$$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) - f(x_0) = 0$\[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to …

derivada:convexidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\sen{\text{sen}}$ Convexidade Dizemos que $A \subset \mathbb R^2$ é convexo se, para quaisquer $x, y \in A$, $\lambda x + (1 - \lambda)y \in A$ para todo $\lambda \in [0, 1]$. A ideia é que o segmento de reta determinado por $x, y$ esteja inteiramente contido em $A$ - note que essa definição pode ser generalizada facilmente para diversos outros espaços (por exemplo, $\mathbb R^n$$f: I \to \mathbb R$$\{(x, y) \in \mathbb R^2: y \geq f(x)\}$$f(x) = x^2$$f: I \to \mathbb R$$f$$f'$$f$$a < b…

derivada:definicao

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\sen{\text{sen}}$ Definição e exemplos Vamos tentar aproximar uma função num determinado ponto por outra função cujo gráfico seja uma reta. Ou seja, dada uma função $f: A \to \mathbb R$, vamos tentar encontrar uma função $g: A \to \mathbb R$ de forma que $g$ seja “parecida” com $f$ num determinado ponto $x_0$$g$$g$\[g(x) = ax + b.\]$a$$b$$g(x_0) = f(x_0)$$x_0)$$ax_0 + b = f(x_0)$\[b = f(x_0) - ax_0.\]$a$$g$$f$$x_0$$t$\[g(t) = f(t)\]$g(x_0) = f(x_0)$$g$\[g(t) = at + b = at + f(x_0) - ax_0 …

derivada:dividir

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$\def\sen{\text{sen}}$ Vamos dividir? Começamos com o seguinte caso particular: Proposição $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$, para $x \neq 0$. Dem.: \[\begin{array}{rcl} (\frac{1}{x})' & = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}\\ & = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}\frac{(x + h)x}{(x + h)x}\\ & = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{x - x - h}{hx(x + h)}\\ & = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{-1}{x^2 + hx}\\ & = & -\frac{1}{x^2} \end{array}\]$\s…

derivada:invertendo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Invertendo Proposição Seja $f: I \to \mathbb R$ inversível em $I$ e tal que $f'(x_0) \neq 0$. Então $(f^{-1}(y_0))' = \frac{1}{f'(x_0)}$ onde $y_0 = f(x_0)$. Dem.: Vamos fazer a substituição $x = f^{-1}(y)$. Note que, assim, $y = f(x)$ e que, quando $y \to y_0$, $x \to x_0$. Assim: \[\begin{array}{rcl} (f^{-1}(y_0))' & = & \lim\limits_{y \to y_0} \frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)}{y - y_0}\\ & = & \lim\limits_{x \to x_0}\frac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)}\\ & = & \frac{1}{f'(x_0)}\\ \end{array}\]$\squa…

derivada:invertendotrigo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\sen{\text{sen}}$ $\def\arcsen{\text{arcsen}}$ $\def\arccos{\text{arccos}}$ Invertendo trigonométricas Costumamos definir $\arcsen: ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ \to ]-1, 1[$ Proposição $\arcsen'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$. Dem.: Considere a substituição $x = \sen(y)$. Vamos usar também a seguinte identidade: $\cos(y) = \sqrt{1 - \sen^2(y)}$. Assim: \[\begin{array}{rcl} \arcsen'(x) & = & \arcsen'(\sen(y))\\ & = & \frac{1}{\sen'(y)}\\ & = & \frac{1}{\cos(y)}\\ & = & \frac{1}{\sqr…

derivada:lhopital

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\sen{\text{sen}}$ l'Hôpital Começamos com um teorema um tanto útil: Teorema (Cauchy) Se $f, g$ são contínuas em $[a, b]$ e diferenciáveis em $]a, b[$, então existe $c \in ]a, b[$ tal que \[(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)\] Dem.: Defina $r(x) = (f(b) - f(a))g(x) - (g(b) - g(a))f(x)$. Note que $r$ é diferenciável em $]a, b[$. Note também que \[\begin{array}{rcl} r(a) & = & (f(b) - f(a))g(a) - (g(b) - g(a))f(a)\\ & = & f(b)g(a) - f(a)g(a) - g(b)f(a) + g(a)f(a)\\ & = & f(b)g(a) - g…

derivada:maxminlocal

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Máximos e mínimos locais Começamos com uma relação entre crescimento da função e o sinal da derivada: Proposição Seja $f: I \to \mathbb R$ onde $I$ é um intervalo aberto. Se $f$ é diferenciável e crescente, então para todo $x \in I$, $f'(x) \geq 0$. Dem.: Sabemos que, para todo $x \in I$ \[\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\\ & = & \lim\limits_{h \to 0^+} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\\ & \geq & 0\\ \end{array}\]$\square$$f: I \to \mathbb R$$I$$f$$x \…

derivada:polinomios

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Polinômios Com o que temos, agora ficou bem fácil calcular derivadas de polinômios. Vamos usar que, se $f(x) = x$, $f'(x) = 1$. Se você ainda não sabe isso, tente fazer pela definição! Lema Dados $n \in \mathbb N$ e $k \in \mathbb R$, considere $f(x) = kx^n$. Então $f'(x) = nkx^{n - 1}$. Dem.: Vamos fazer isso por indução sobre $n$$n = 0$$f(x) = k$$f'(x) = 0$$n$$n + 1$\[\begin{array}{rcl} f'(x) & = & (kx^{n + 1})'\\ & = & (kx^n x)'\\ & = & (kx^n)'x + kx^n (x)'\\ & \stackrel{(HI)}{=} & nkx^{n…

derivada:pontoscriticos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\dom{\text{dom}}$ Pontos críticos Vamos agora continuar nosso estudo sobre crescimento / decrescimento de funções. Proposição Sejam $I$ um intervalo e $f: I \to \mathbb R$ diferenciável e tal que $f'(x) > 0$ para todo $x \in I$. Então $f$ é estritamente crescente. Dem.: Sejam $a < b \in I$. Pelo Teorema do valor médio, existe $x$ tal que $a < x < b$$f(b) - f(a) = f'(x)(b - a)$$f'(x) > 0$$(b - a) > 0$$f(b) - f(a) > 0$$f(b) > f(a)$$f'(x) < 0$$x \in I$$I$$f: I \to \mathbb R$$f'(x) = 0$$x$…

derivada:somaproduto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\sen{\text{sen}}$ Soma e produto A regra para a soma é bem o que a gente espera. Proposição Sejam $f$ e $g$ funções diferenciáveis em $x_0$. Então \[(f(x_0) + g(x_0))' = f'(x_0) + g'(x_0)\] Dem.: \[\begin{array}{rcl} (f(x_0) + g(x_0))' & = & \lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x) + g(x) - f(x_0) - g(x_0)}{x - x_0}\\ & = & \lim\limits_{x \to x_0}(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} + \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0})\\ & = & f'(x_0) + g'(x_0)\\ \end{array}\]$\square$ Exemplo \[(x +\cos(x))' = x' + \…

derivada:taylor

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

$\def\sen{\text{sen}}$ Fórmula de Taylor Uma motivação que tivemos para a definição de derivada de uma função foi aproximá-la por uma função linear: $p(x) = ax + b$. Vimos, naquele momento, que essa aproximação se dada da seguinte forma \[P_1(x) = f'(x_0)x + f(x_0) - f'(x_0)x_0 = f(x_0) + (x - x_0)f'(x_0)\] Claramente, \[P_1(x_0) = f(x_0).\] Mas, mais que isso,\[P_1'(x) = f'(x_0).\]$P_1'(x_0) = f'(x_0)$$P_1''(x) = 0$$f''(x_0)$$P_1'$\[P_2(x) = f(x_0) + (x - x_0)f'(x_0) + \lambda(x - x_0)^…

derivada:valormedio

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T14:45:05+00:00

Teorema do valor médio Teorema (de Rolle) Sejam $a < b$ e $f:[a , b] \to \mathbb R$ contínua e diferenciável (em $]a, b[$). Se $f(a) = f(b)$, então existe $x \in ]a, b[$ tal que $f'(x) = 0$. Dem.: Como $f$ é contínua, ela admite máximo e mínimo. Vamos separar em dois casos. No primeiro, o máximo e o mínimo da função são iguais a $f(a) = f(b)$$0$$x \in ]a, b[$$x$$a < b$$f:[a , b] \to \mathbb R$$]a, b[$$x \in ]a, b[$\[f'(x) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.\]$K = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$\[g(x) = f(…