Topologia e conjuntos em exercícios curso

curso:c2019-01

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Aula de 27/02 * Joãozinho é mais baixo do que Mariazinha. Ambos estão crescendo, sendo que a diferença de altura entre eles está cada vez menor. Quem tem “velocidade” de crescimento maior? Só com esses dados (e supondo que a situação não se altere), é possível dizer que em algum momento Joãozinho vai ficar mais alto que Mariazinha?$z \in \mathbb Z$$z^2$$3$$z$$\sqrt{3}$$p$$\sqrt{p}$$a - b$$c$$b + c = a$$c$$f: \mathbb Q \to \mathbb Q$$f(a + b) = f(a) + f(b)$$f(\lambda a) = \lambda f(a)$$a, b, \…

curso:c2019-02

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Aula de 01/03 * Exiba uma bijeção entre $\mathbb N$ e $\mathbb N_{\neq 0}$. Prove que ela é de fato bijetora. * Dado $z \in \mathbb Z$, construa uma bijeção entre $\mathbb Z$ e $\mathbb Z_{\neq z}$. * Dados $a, b \in \mathbb Q$ distintos, construa uma bijeção entre $\mathbb Q$ e $\mathbb Q \setminus \{a, b\}$ (esse último conjunto é $\{q \in \mathbb Q: q \neq a, q \neq b\}$). * Considere $f: \mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb N$ dada por $f(a, b) = 2^a 3^b$. Essa função é injetora?…

curso:c2019-03

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Aula de 08/03 * Sejam $x, y \in \mathbb R$. Mostre as seguintes afirmações: * $||x|| = |x|$; * $|x^2| = x^2$; * $|x - y| = |y - x|$. * Mostre que, dado $x, y \in \mathbb R$, $|x - y| = 0$ se, e somente se, $x = y$. * Determine para quais valores de $x$ valem as seguintes afirmações: * $\frac{|x - 2|}{|x + 5|} < 10$; * $\frac{|x + 1|}{x - 3} \leq 0$; * $|x + 1| + |2x + 4| \geq 0$; * $|4 - 2x| - |x + 1| \leq 2$.

curso:c2019-04

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Aula de 13/03 * Para cada uma das funções abaixo, determine um palpite de quem deveria ser o limite delas. Depois, prove pela definição que o limite está certo de fato (lembre, a definição do limite é uma espécie “atestado” do tal $L$ ser o limite).$\lim\limits_{x \to 4} 3x + 5$$\lim\limits_{x \to 1} x$$f$$g$$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = \lim\limits_{x \to 0} g(x)$$f(x) = g(x)$$x \neq 0$$f: \mathbb R \to \mathbb R$$f(x) = 0$$x \in \mathbb Q$$f(x) = 1$$x \notin \mathbb Q$$f(0)$$\lim\limits_{x …

curso:c2019-05

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Aula de 15/03 * Considere o seguinte exemplo: $\lim\limits_{x \to 0^+} |x| = \lim\limits_{x \to 0} x = 0$. A primeira igualdade vale já que estamos considerando apenas $x > 0$ (note o $0^+)$. * Calcule $\lim\limits_{x \to 0^-} |x|$. * Existe $\lim\limits_{x \to 0} |x|$? * Calcule $\lim_{x \to 1^+} |2x - 2|$. * Existe $\lim_{x \to 1} |2x - 2|$? * Considere $f: \mathbb R \to \mathbb R$ dada por $f(x) = 2x$ se $x \geq 1$ e $f(x) = k - x$ se $x < 1$ (onde $k \in \mathbb R$). * …

curso:c2019-07

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Aula de 22/03 * Calcule os seguintes limites: * $\lim\limits_{x \to -\infty} x^2 - 2x + 1$ * $\lim\limits_{x \to +\infty} -4x^2 +3x + 1$ * Considere $f: \mathbb R \to \mathbb R$ dada por $f(x) = 0$ se $x$ racional e $f(x) = 1$ se $x$ irracional. Qual é o $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$? * Se $f: \mathbb R \to \mathbb R$ é uma função ímpar tal que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -7$, o que podemos dizer sobre $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$? * Dada $f: \mathbb R \to \…

curso:c2019-10

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Aula de 03/04 * A função dada por $f(x) = 0$ se $x \in \mathbb Q$ e $f(x) = -1$ se $x \notin \mathbb Q$ é limitada? * Sejam $f$ e $g$ funções. É verdade que $f \circ g$ é limitada quando: * $f$ é limitada; * $g$ é limitada. * Se $f$ é limitada, é verdade que $\frac{1}{f}$ é limitada? * Se $f$ é limitada, é verdade que a função dada por $|f(x)|$$f$$L$$f(x) \geq L$$x$$f$$M$$f(x) \leq M$$x$$f$$\lim_\limits{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$g$$\lim_{x \to +\infty} (f(x) + g(x)) = +\i…

curso:c2019-11

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Aula de 05/04 * Considere $f: \mathbb R \to \mathbb R$ e $g: \mathbb R \to \mathbb R$ tais que, para todo $x \in \mathbb R$, $f(x) \leq g(x)$. Suponha que dado $a \in \mathbb R$, temos que $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ e $\lim\limits_{x \to a} g(x)$ existam. * Mostre que $\lim\limits_{x \to a} f(x) \leq \lim\limits_{x \to a} g(x)$. * Troque alguns itens por $+\infty$ (por exemplo, $a$ ou o valor de algum dos limites). Quais afirmações como a original continuam valendo?$f(x) < g(x)$$x \i…

curso:c2019-12

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Aula de 10/04 * Considere $f: \mathbb R \to \mathbb R$ função contínua. * Se $f(a) = 0$, podemos concluir que existe $\delta > 0$ tal que, para todo $x$, $|x - a| < \delta$ implica $f(x) = 0$? * Se $a < b$ são tais que $f(a) > 0$ e $f(b) > 0$. Podemos concluir que não existe $c$ entre $a$ e $b$ tal que $f(c) = 0$? * Seja $f: I \to \mathbb R$ contínua, onde $I$ é um intervalo. Mostre que a imagem de $f$$\frac{1}{2}$$7x^5 -2x + 1$

curso:c2019-13

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Aula de 12/04 * Dada uma função $f: A \to B$ e dado $C \subset B$, denotamos por $f^{-1}[C] = \{a \in A: f(a) \in C\}$ (note que não estamos dizendo que existe a inversa de $f$ - apenas a notação é similar). * Determine $\cos^{-1}[\{-1, 1\}]$. * Determine $\cos^{-1}[\{0\}]$. * Determine $\cos^{-1}[\{2\}]$. * Mostre que $f: A \to B$ é sobrejetora se, e somente se, para todo $C \subset B$$f^{-1}[C] \neq \emptyset$$f: A \to B$$b \subset B$$f^{-1}[\{b\}]$$\cos: \mathbb R \to \mathbb […

curso:c2019-14

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Aula de 24/04 Os seguintes exercícios foram pensados para serem feitos antes de regras de derivação (depois deles eles são bem sem graça). Se você já sabe tais regras, faça também as contas usando tais regras para verifica que as soluções feitas aqui estão de fato corretas. $3x^4 + x$$2$$f$$x_0$$k \in \mathbb R$$g'(x_0) = f'(x_0)$$g(x) = f(x) + k$$h'(x_0) = kf(x_0)$$h(x) = kf(x)$

curso:c2019-15

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Aula de 26/04 * Considere a função $f(x) = (3x^2 - 2x + 1)^3$. * Calcule $f'(x)$ usando a regra da cadeia. * “Resolva” o ao cubo, escreva $f$ como um polinômio de grau $6$ e então calcule a derivada. * Escreva $f$ como $(3x^2 - 2x + 1)(3x^2 - 2x + 1)(3x^2 -2x + 1)$ e calcule a derivada usando a regra do produto (note que você vai precisar usar a regra mais de uma vez).$(\cos(x^2))'$$(\sin(\cos(x^2)))'$$(3x^2\sin(x)\cos(x))'$

curso:c2019-16

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Aula de 03/05 * Calcule as seguintes derivadas: * $(\sin(\sqrt{3x^2 + 1}))'$ * $(\frac{\cos^2(3x)}{2x^4 + 3x^2})'$

curso:c2019-17

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Aula de 08/05 * Dê um exemplo de uma função contínua, limitada inferiormente mas que não tenha ponto de mínimo. * Considere $f$ e $g$ diferenciáveis, $f$ estritamente crescente, $g$ estritamente decrescente. Mostre que $f \circ g$ é estritamente decrescente calculando a sua derivada. * Considere $f: \mathbb [a, b] \to \mathbb R$$f$$f: \mathbb [a, b] \to \mathbb R$$f'$$c$$a < c < b$$f'(c) = 0$$c$$f'$$c$$f$$c$

curso:c2019-18

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Aula de 10/05 * Seja $f: \mathbb R \to \mathbb R$ diferenciável. Sabendo que existem $a < b$ tais que $f(a) < f(b)$, mostre que existe um ponto $c$ tal que $f'(c) > 0$. * Encontre o máximo e o mínimo de $f(x) = 4x^3 -3x^2 -2x + 1$ no intervalo $[-5, 5]$ (cuidado com os extremos do intervalo). * Seja $p$ um polinômio. Sabendo que $a < b$ são raízes de $p$$c$$a$$b$$c$$p'$

curso:c2019-20

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Aula de 22/05 * Faça o esboço do gráfico das funções abaixo. Deixe claro eventuais máximos e mínimos locais e regiões de convexidade ou concavidade. * $x^3 -2x^2 - x + 1$ * $\frac{x^2 + 1}{x}$ * Sejam $f$ e $g$ funções convexas. Mostre que a função $h(x) = f(x) + g(x)$ também é convexa (Atenção: se quiser usar um critério para funções diferenciáveis, tudo bem - mas o caso em que as funções não são necessariamente diferenciáveis também é verdadeiro e um pouco mais interessante de se …

curso:c2019-21

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Aula de 24/05 * Calcule os seguintes limites: * $\lim\limits_{x \to -4} \frac{sen(\pi )}{x^2 - 16}$ * $\lim\limits_{x \to 0} \frac{sen(2x) + 7x^2 -2x}{x^2(x + 1)^2}$ * $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\tan(x) - x}{x^3}$

curso:c2019-22

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Aula de 29/05 * Determine o polinômio de Taylor de grau $3$ de $sen(x)$ em torno do ponto $\frac{5\pi}{6}$. * Determine o polinômio de Taylor de grau $n$ de $\frac{1}{1 - x}$ em torno de $0$. * Sabe-se que uma função $f$ tem como polinômio de Taylor de grau $2$ em torno do ponto $0$ o polinômio $p(x) = 8x^2 -7x + 5$$f(0)$$f'(0)$$f''(0)$

curso:c2019-23

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Aula de 31/05 * Calcule a derivada das seguintes funções: * $e^{cos(x)}$ * $e^{x^2}sen(x)$ * $e^{\frac{1}{x}}$ * Calcule os seguintes limites: * $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n}$, com $n \in \mathbb N_{>0}$. * $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{\frac{1}{x}}$.

curso:c2019-24

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Aula de 05/07 * Calcule os seguintes limites: * $\lim\limits_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x})^{2x}$ * $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x}{\log_2(x)}$ * $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^n}{2^x}$ * Calcule as seguintes derivadas: * $(x^x)'$ * $(\log_2 x^3)'$ * $(\log_x x^2)'$

curso:calculo2019

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Cálculo I Primeiro semestre 2019 Provas * P1 - 29/03 * P2 - 17/05 * P3 - 14/06 * Sub - 19/06 * Rec - 12/07 10h s. 3-010 Média aritmética. Use essa ferramenta para tirar dúvidas. Provas * [P1 - Turma A] * [P1 - Turma A, notas] * [P1 - Turma A, alguns dados] * [P1 - Turma B] * [P1 - Turma B, notas] * [P1 - Turma B, alguns dados] * [P2 - Turma A] * [P2 - Turma A, notas] * [P2 - Turma A, alguns dados] * [P2 - Turma B]

curso:conjuntos2015

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Aplicações de teoria dos conjuntos Talvez esta página ajude: Topologia e conjuntos em exercícios. Material do seminário do Dione: Material do seminário do Renan: Notas dos exercícios (sempre tente confirmar se as suas estão certas) Vídeos das aulas Alguns axiomas $\omega_1$$\beta \omega$

curso:conjuntos2016

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-06T16:05:09+00:00

Aplicações de teoria dos conjuntos Talvez essa página ajude: [Topologia e conjuntos em exercícios] Notas de aula: P1: [Enunciado] [Resultados] P2: [Enunciado] [Resultados] Resultados “finais” (para quem precisar, podemos ver para fazer algo e melhorar a nota - conversamos na quinta (24)). [Resultados]

curso:conjuntos2018

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Aplicações de teoria dos conjuntos (2018) Use essa ferramenta para tirar dúvidas - anúncios sobre a disciplina também serão feitos por ela. (é melhor você se registrar na plataforma para usá-la) [Notas de aula]

curso:discreta2015

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Matemática discreta II Aqui você encontra algumas notas de aula. Cuidado: NÃO prometo ter notas de todas as aulas. Notas finais: Resultados do teste 11: Resultados do teste 10: Resultados do teste 09: Resultados do teste 08: Resultados do teste 07:

curso:elementos2016

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Elementos de Matemática Datas das provas: * P1 - 21/09 * P2 - 26/10 * P3 - 02/12 * Sub - 07/12 * REC - 19/12 10h (sala 3-009) Resultados sobre a avaliação da disciplina feita em 30/11: Quem ainda quiser falar algo, use o formulário de

curso:elementos2019

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Elementos de Matemática Datas de provas: * P1 17/09 [Notas] * P2 22/10 [Notas] [Enunciado] * P3 28/11 [Notas] [Enunciado] * Sub 03/12 [Notas + médias + presença] Lista de músicas da P3 (não entendi a letra / não encontrei algumas...) * Rec 11/12 14h s.4-001 [Declaração de presença] [Avaliação da disciplina] (anônima) * [Notas de aula] * [Wiki] da disciplina (com vários exercícios) [Lista feita em 13/08]

curso:forcing2018

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Introdução ao forcing Grupo de apoio para a disciplina. [Notas] de aula. Exercícios (em construção).

curso:fundamentos2017

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Fundamentos de Matemática (2017) Datas de provas: * P1 05/04 * P2 22/05 * P3 21/06 * Sub 28/06 * REC 12/07 10h (sala 4-003) Monitoria é de quartas, às 18h numa das salas 3-01x. Notas de aula: Wiki com exercícios: Médias (antes da Rec):

curso:fundamentos2018

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Fundamentos de Matemática (2018) Use essa ferramenta para tirar dúvidas - anúncios sobre a disciplina também serão feitos por ela. (é melhor você se registrar na plataforma para usá-la) [Notas de aula]

curso:ga2016

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Geometria Analítica P1 - 31/03 P2 - 12/05 P3 - 16/06 Sub - 23/06 Atenção com a data da REC: Rec. 14/07 (quinta), 19h - sala 4-003 Notas da primeira prova Notas da segunda prova Notas da terceira prova Médias finais (antes da REC)

curso:jogos2018

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Introdução aos jogos topológicos Use essa ferramenta para tirar dúvidas e receber avisos sobre a disciplina. Sugestões de artigos: * * * (edição especial sobre jogos combinatórios) Slides do curso (dividido em algumas partes): * [Parte I] * [Parte II]

curso:metricos2019

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Espaços métricos Datas de provas: * P1 - 11/09 * P2 - 16/10 * P3 - 02/12 * Sub - 04/12 * Rec - 11/12 14h s. 4-001 [Notas de aula] (sendo atualizadas ao longo do curso) [Exercícios] feitos na aula de 02/10. [Aula de 18/11]. Vídeos das aulas serão acrescentados aqui Notas da

curso:topologia2015

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Topologia Talvez esta página ajude: Topologia e conjuntos em exercícios. Conceitos: Notas da primeira prova: Notas da segunda prova: Notas da terceira prova: Vídeos das aulas Definições básicas Fecho, interior e bases. Axiomas de separação Axiomas de enumerabilidade

curso:topologia2016

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Topologia Próximas provas: * P2 - 06/05 * P3 - 10/06 * Sub - 17/06 Talvez esta página ajude: Topologia e conjuntos em exercícios. Notas de aula: É melhor usar essas notas no lugar das antigas: muitos erros foram corrigidos e exercícios acrescentados Notas da primeira prova:

curso:topologia2017

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Topologia (2017) Datas de prova: * P1 05/05 * P2 09/06 * P3 04/07 * Sub 07/07 (13h s. 5104) Notas de aula: Notas da P1: [ Pós] [ Graduação] Notas da P2: [ Pós] [ Graduação] Notas da P3: [ Pós] [ Graduação] Notas da Sub: [ Pós] [ Graduação] Médias / Conceitos pós sub: [ Pós] [ Graduação]