Proposição São verdadeiras as seguintes afirmações para quaisquer $x, y \in \mathbb R$:

• $|x| \geq 0$;
• $|x| = |-x|$;
• $x \leq |x|$;
• $-|x| \leq x$;
• $|xy| = |x||y|$.

Dem.:

• Se $x \geq 0$, então $|x| = x \geq 0$. Se $x < 0$, então $|x| = -x > 0$, já que $x < 0$.
• Se $x > 0$, então $|x| = x$. Por outro lado, $|-x| = -(-x) = x$. Se $x < 0$, então $|x| = -x$. Por outro lado, $|-x| = -x$. Finalmente, se $x = 0$, então $|x| = 0 = |-x|$.
• Se $x \geq 0$, então $x = |x|$. Se $x < 0$, então $x < |x|$ pois $|x| \geq 0$ como provado acima.
• Se $x \geq 0$, então $-|x| \leq x$ pois $-|x| \leq 0$. Se $x < 0$, então $-|x| = -(-x) = x$.
• Vamos aqui separar em mais casos. Caso $x > 0$ e $y > 0$, então $|xy| = xy = |x||y|$. Se $x < 0$ e $y > 0$, então $|xy| = -(xy) = (-x)y = |x||y|$ (a primeira igualdade segue do fato que $xy < 0$. A última igualdade é fácil de ver se você ler da direita para esquerda). O caso em que $x > 0$ e $y < 0$ é análogo ao anterior. Se $x < 0$ e $y < 0$, então $|xy| = xy = (-x)(-y) = |x||y|$. Finalmente, se $x$ ou $y$ forem $0$, então $|xy| = 0 = |x||y|$. $\square$

O seguinte resultado muitas vezes facilita trabalhar com desigualdades envolvendo módulos.

Proposição Dados $a, x \in \mathbb R$, temos que \[|x| \leq a \text{ se, e somente se,} -a \leq x \leq a\]

Dem.: Suponha $|x| \leq a$. Temos, pelo resultado anterior, que $x \leq |x| \leq a$, ou seja, que $x \leq a$. Por outro lado, temos que $|x| = |-x|$. Logo, temos que $-x \leq |-x| = |x| \leq a$. Isto é, $-x \leq a$. Note que isso implica $-a \leq x$. Assim, temos $-a \leq x \leq a$.

Agora suponha que $-a \leq x \leq a$. Vamos estimar $|x|$. Temos duas opções $x \geq 0$ e $x < 0$. Se $x \geq 0$, temos que $|x| = x \leq a$. Se $x < 0$, temos que $|x| = -x$. Note que, de $-a \leq x$, temos que $-x \leq a$. Logo, $|x| = -x \leq a$. Assim, $|x| \leq a$. $\square$

Proposição (desigualdade triangular) Dados $a, b \in \mathbb R$, temos que $|a + b| \leq |a| + |b|$.

Dem.: Temos \[-|a| \leq a \leq |a|\] \[-|b| \leq b \leq |b|.\] Somando essas inequações, temos: \[-(|a| + |b|) \leq a + b \leq |a| + |b|\] Assim, obtemos $|a + b| \leq |a| + |b|$. $\square$

Proposição Dados $a, b \in \mathbb R$, temos que $|a| - |b| \leq |a - b|$.

Dem.: Temos $|a| = |a - b + b| \leq |a - b| + |b|$. Logo, $|a| - |b| \leq |a - b|$. $\square$

Exemplo Considere a desigualdade $|x - 7| < 3$. Para quais valores de $x$ ela é verdadeira? Vamos apresentar dois métodos aqui. Um, simplesmente aplicando a proposição acima. Isto é, a desigualdade vale se, e somente se, $-3 < x - 7 < 3$. Ou seja, a desigualdade vale se, e somente se, $4 < x < 10$. Na representação como intervalo, ela vale se, e somente se, $x \in ]4, 10[$.

Vamos agora ao segundo método. Vamos olhar para $|x - 7|$ e separar nos casos possíveis. Se $x - 7 \geq 0$, temos que $|x - 7| = x - 7$. Ou seja, para os $x \geq 7$, a desigualdade vale se, e somente se, $x \geq 3 + 7 = 10$.

No caso em que $x - 7 < 0$ (isto é, $x < 7$) temos que $|x - 7| = -(x - 7) = 7 - x$. Assim, para $x < 7$, a desigualdade vale se, e somente se, $-x < 3 - 7 = -4$. Isto é, $x > 4$. Juntando os dois casos, obtemos que a desigualdade vale se, e somente se, $4 < x < 10$ (ou seja, o mesmo resultado obtido anteriormente).

Exercícios