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Intervalos
Um tipo de conjunto bastante importante é o intervalo de números reais. Formalmente, um subconjunto $A$ dos reais é um intervalo se, dados $a, b \in A$ tais que $a < b$, se $c \in \mathbb R$ é tal que $a < c < b$, então $c \in A$. Isso quer dizer o seguinte: se um número $c$ estará entre dois números do intervalo, então $c$ também está no intervalo. As notações para intervalos são as usuais: \[[a, b] = \{x \in \mathbb R: a \leq x \leq b\}\] \[[a, b[ = \{x \in \mathbb R: a \leq x < b\}\] \[[a, +\infty[ = \{x \in \mathbb R: a \leq x\}\]
Note que o último exemplo pode parecer estranho ser um intervalo segundo a nossa definição. Mas cuidado aqui: a nossa definição de intervalo não é a de um conjunto em que todos o elementos estão entre dois números fixados. Para deixar isso mais claro, vejamos que $[1, +\infty[$ é de fato um intervalo (segundo a nossa definição). Ou seja, precisamos tomar $a, b \in [1, +\infty[$ e $c \in \mathbb R$ de forma que $a < c < b$ e provar que $c \in [1, +\infty[$. Note que, como $a \in [1, +\infty[$, temos que $1 \leq a$. Como $a < c$, temos que $1 < c$. Ou seja, $c \in [1, +\infty[$.
O seguinte conjunto não é um intervalo: \[A = \{x \in \mathbb R: x \neq 0\}\] Um motivo para que ele não seja um intervalo: note que $-1, 1 \in A$. Note também que $-1 < 0 < 1$. Mas, $0 \notin A$. Ou seja, $0$ está entre dois elementos de $A$ mas não está em $A$.
1 Dê um exemplo para mostrar que união de dois dois intervalos não necessariamente é um intervalo.
Proposição Sejam $I$ e $J$ intervalos. Então $I \cap J$ também é um intervalo.
Dem.: Sejam $a, b \in I \cap J$ tais que $a < b$. Seja $c$ tal que $a < c < b$. Temos que mostrar que $c \in I \cap J$. Mas, como $a, b \in I \cap J$, então $a, b \in I$. Logo, como $I$ é intervalo, $c \in I$. Analogamente, $c \in J$. Ou seja, $c \in I \cap J$. $\square$
Na verdade, de forma análoga, se prova que a intersecção qualquer de intervalos (não só de dois) é sempre um intervalo.
Teorema Sejam $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ e $(b_n)_{n \in \mathbb N}$ sequências de números reais de forma que $[a_{n + 1}, b_{n + 1}] \subset [a_n, b_n]$ para todo $n \in \mathbb N$ (com $[a_n, b_n] \neq \emptyset$). Então $\bigcap_{n \in \mathbb N} [a_n, b_n] \neq \emptyset$.
Uma sequência de intervalos $(I_n)_{n \in \mathbb N}$ tal que $I_{n + 1} \subset I_n$ é chamada de encaixante.}
Os exemplos a seguir ilustram como as hipótese do resultado anterior são necessárias:
Exemplo $\bigcap_{n \in \mathbb N} [n, +\infty[ = \emptyset$.
Exemplo $\bigcap_{n \in \mathbb N} ]0, \frac{1}{n + 1}[ = \emptyset$
Este resultado sobre intervalos encaixantes é muito particular dos reais - e também muito importante. Usaremos tal fato em alguns resultados no futuro.
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