Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $x \in X$ e $A =\{d \in D: d < x\}$. Temos que $A \neq \emptyset$, pois $X$ não possui um menor elemento. Note que $x$ é um majorante de $A$. Suponha que $x \neq \sup\{d \in D: d < x\}$. Então existe $y < x$ tal que $y = \sup\{d \in D: d < x\}$. Temos que $]y,x[$ é um aberto de $X$, portanto pela densidade da ordem existe $d' \in D$ tal que $y < d' < x$, portanto $d' \in A$, contradizendo $y$ ser o sup de $A$. Logo $x = \sup\{d \in D: d < x\}$.