Topologia e conjuntos em exercícios

Essa é uma revisão anterior do documento!

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Vamos extender o isomorfismo $f: D \rightarrow \mathbb Q$ construído no item (1) dessa seção. Considere $F: X \rightarrow \mathbb R$ definida como $F(x) = \sup\{f(d): d \in D, d \leq x\}$. Sejam $x,y \in X$ com $x < y$. Da densidade de $D$ segue que existe $p \in D$ tal que $p \in ]x,y[$. Note que $F(x) < F(p)$ e que $F(p) < F(y)$, portanto $F(x) < F(y)$. Logo, $F$ preserva a ordem e é injetora. Da completude de $X$ segue que $F$ é sobrejetora. Portanto $X$ é isomorfo a $\mathbb R$.