Topologia e conjuntos em exercícios

Essa é uma revisão anterior do documento!

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Dado o isomorfismo $f$ de (2.1), vamos estendê-la para $X$. Seja $f'(x) = sup\{f(d): d \in D, d \leq x\}$. Mostraremos que $f'$ é de fato um homeomorfismo entre $X$ e $\mathbb R$.

Pela densidade de $D$, $f'$ preserva a ordem, pois dados $x,y \in X$ com $x < y$, existe $d' \in D$ tal que $x < d' < y$, e como $f'(x) < d'$, segue que f'(x) < f'(y). Disso segue que $f'$ é injetiva (se $x \neq y$, suponha sem perda de generalidade que $x < y$ e note que $f(x) < f(y)$). Pela completude de $X$, segue que $f'$ é sobrejetora.

Portanto $X$ é isomorfo a $\mathbb R$.