Topologia e conjuntos em exercícios

Vamos extender o isomorfismo $f: D \rightarrow \mathbb Q$ construído no item (1) dessa seção. Considere $F: X \rightarrow \mathbb R$ definida como $F(x) = \sup\{f(d): d \in D, d \leq x\}$.

Sejam $x,y \in X$ com $x < y$. Da densidade de $D$ segue que existe $p \in D$ tal que $p \in ]x,y[$. Note que $F(x) < F(p)$ e que $F(p) < F(y)$, portanto $F(x) < F(y)$. Isso mostra que $F$ preserva a ordem e é injetora. Mostremos que é sobrejetora:

Seja $a \in \mathbb R$. Considere $x = sup\{d \in D: f(d) \leq a\}$, que existe devido a completude de $X$. Note que $F(x) = a$.

Com isso concluímos que $X$ é isomorfo a $\mathbb R$.