Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $x \in c \mathbb{R} \setminus \mathbb{R}$ e $A$ uma vizinhança de $x$, sem perdas podemos supor que $A$ uma vizinhança fechada.
Suponha por absurdo que, $\mathbb{R} \cap A$ é um subconjunto de $\mathbb{R}$ limitado.
Como $\mathbb{R} \cap A$ é um fechado de $\mathbb{R}$, e além disso limitado, então $\mathbb{R} \cap A$ é compacto e portanto fechado em $c \mathbb{R}$. Mas $A \setminus ( \mathbb{R} \cap A )$ é uma vizinhança de $x$ que não intercepta $\mathbb{R}$, contrariando o fato de que $\mathbb{R}$ é denso em $c \mathbb{R}$.