Topologia e conjuntos em exercícios

Essa é uma revisão anterior do documento!

Primeiramente verifica-se que $ x \in V$, para todo $ V \in \mathcal V$, de fato, como $ x \in B_r(x)\subset V, x \in V$.

Verificamos agora se $\mathcal V$ é um filtro sobre X.

1. Se $V \in \mathcal V$, $x \in V$ então $\emptyset \notin \mathcal V$.
2. Sejam $V_1, V_2 \in \mathcal V$, então $x \in V_1$ e $x \in V_2$, ou seja $x \in V_1 \cap V_2$. Existem $r, s > 0$ tais que $B_r(x)\subset V_1$ e $B_s(x)\subset V_2$, tomando $t=\min \{ r,s \}$, temos que $B_t(x) \subset B_r(x) \cap B_s(x)$, portanto $B_t \subset V_1\cap V_2 \in \mathcal V$.
3. Seja $ V \in \mathcal V$ e $ B \subset X$, temos que $B_r(x) \subset V$, se $V \subset B$ então $B_r(x) \subset B$, portanto $B \in \mathcal V$.

Assim fica provado que $\mathcal V = \{V \subset X: \exists r \in \mathbb R_{>0} B_r(x) \subset V\}$ é um sistema de vizinhanças* de $x$.