Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $F$ um filtro sobre $A$ e $\mathcal{H}' = \{\mathcal {H}: \mathcal{H}$ é filtro e $F \subset \mathcal{H}\}$. Seja $S \subset \mathcal{H}'$ um subconjunto totalmente ordenado. Vamos mostrar que $H = \bigcup_{G \in S} G$ é limitante superior de $S$:

Primeiro, afirmamos que $F \subset H$. De fato, seja $a \in F$ e $G \in S$. Como $F \subset G$, então $a \in S \Rightarrow a \in H$.

Para termos $H \in \mathcal{H}'$ precisamos mostrar que $H$ é filtro:

i) Seja $G \in S$. Note que $0 \notin G$ e $1 \in G$, pois $G$ é filtro. Portanto $0 \notin H$ e $1 \in H$.

ii) Sejam $a_1, a_2 \in H$. Existem $A_1, A_2 \in S$ tais que $a_1 \in A_1$ e $a_2 \in A_2$. Mas $S$ é totalmente ordenado, portanto $A_1 \subset A_2$ ou $A_2 \subset A_1$. Vamos supor que vale o primeiro caso (o segundo é análogo). Se $A_1 \subset A_2$, então $a_1, a_2 \in A_2 \Rightarrow a_1a_2 \in A_2$, pois $A_2$ é filtro. Daí segue que $a_1a_2 \in H$.

iii) Sejam $a \in H$ e $b \in A$ tal que $a \leq b$. Como $a \in H$, então existe $G \in S$ tal que $a \in G$. Mas como $a \leq b$, então por $G$ ser filtro segue que $b \in G$. Portanto $b \in H$.

Com isso concluimos que $H \in \mathcal{H'}$. Como $\mathcal{H}$ é limitante superior de $S$, podemos aplicar o Lema de Zorn e assim obter que $\mathcal {H}'$ possui um elemento maximal. Portanto existe um filtro maximal que contém $F$.