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Considere $\leq$ uma Boa Ordem sobre o Espaço Vetorial $V$. Vamos definir o conjunto $B=\{v \in V: v \notin [\{w \in V: v < w\}]\}$ que será uma base para V. Precisamos provar que $B$ é Linearmente Independente e que $[B]=V$.
- $B$ é Linearmente Independente:
Para isso, suponha que $B$ não é LI, então existe $v \in B$ de modo que $v$ pode ser escrito como combinação linear de outros. Tome $v_1, v_2, \ldots, v_n$ $\in B$, escalares não nulos $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ e, sem perda de generalidade, $v_1$ como o maior elemento que pode ser escrito da forma $v_1=1/\alpha_1(\alpha_2v_2 + \ldots + \alpha_nv_n)$, mas deste modo $v \in [\{w \in V: w<v\}]$, ou seja, um absurdo. Portanto concluímos que $B$ é LI.
- $[B] = V$:
Suponha que $[B]$ não gera $V$, então é verdade que $V\setminus[B] \neq\{\emptyset\}$. Pela Boa Ordem, podemos pegar $a$, o menor elemento de $V\setminus[B]$, mas se $a \notin [B]$ então $a \in [\{w \in V: w<a\}]$, porém sendo $a$ o menor elemento, para todo $w<a, w \in [B]$, ou seja, $a$ é da forma $a=\beta_1w_1+\beta_2w_2+\ldots+\beta_nw_n \in [B]$, dados $w_1,w_2,\ldots,w_n \in [B]$ e escalares não nulos $\beta_1,\beta_2,\ldots\beta_n$,isto é, $a \in [B]$. Portanto, como $V\setminus[B]$ não tem menor elemento, temos que $V\setminus[B] = \{\emptyset\}$, ou seja, $[B]=V$.
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