Topologia e conjuntos em exercícios

Considere $\leq$ uma Boa Ordem sobre o Espaço Vetorial $V$. Vamos definir o conjunto $B=\{v \in V: v \notin [\{w \in V: w < v\}]\}$ que será uma base para V. Precisamos provar que $B$ é Linearmente Independente e que $[B]=V$.

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• $B$ é Linearmente Independente:

Para isso, suponha que $B$ não é LI e então tome $v_1, v_2, \ldots, v_n$ $\in B$ e escalares não nulos $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ de modo que $\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \ldots + \alpha_n v_n = 0$. Sem perda de generalidade tome $v_1$ como o maior elemento que pode ser escrito da forma $v_1=\frac{1}{\alpha_1}(\alpha_2v_2 + \ldots + \alpha_nv_n)$. Deste modo $v_1 \in [\{w \in V: w<v_1\}]$, ou seja, um absurdo. Portanto concluímos que $B$ é LI.

• $[B] = V$:

Suponha que $[B]$ não gera $V$, então é verdade que $V\setminus[B] \neq\{\emptyset\}$. Pela Boa Ordem podemos tomar $a$, o menor elemento de $V\setminus[B]$. Como $a \notin [B]$, em particular, $a \notin B$. Assim, $a \in [\{w \in V: w<a\}]$, mas sendo $a$ o menor elemento, para todo $w<a, w \in [B]$. Isso significa que $a$ é da forma $a=\beta_1w_1+\beta_2w_2+\ldots+\beta_nw_n \in [B]$, dados $w_1,w_2,\ldots,w_n \in [B]$ e escalares não nulos $\beta_1,\beta_2,\ldots\beta_n$. Disto concluímos que $a \in [B]$. Portanto, como $V\setminus[B]$ não tem menor elemento, temos que $V\setminus[B] = \{\emptyset\}$, ou seja, $[B]=V$.