Topologia e conjuntos em exercícios

Considere $(x_n)_{n\in\omega}$ sequência de pontos em $\omega$.
Suponha que $X = \{x_{n}\}_{n \in \omega}$ seja um subconjunto infinito de $\omega$ (caso contrário, o resultado é imediato). Como $\mathcal F$ é uma família maximal, existe $F \in \mathcal F$, tal que $F \cap X$ é infinito. Defina o seguinte conjunto: $$ \{x_{n_i}:x_{n_i} \in F \cap X\}_{i \in \omega}$$ Considere a subsequência $(x_{n_i})_{i \in \omega}$. Seja $(x_{n_{i_k}})_{k \in \omega}$ uma subsequência de $(x_{n_i})_{i \in \omega}$. Note que, para toda vizinhança básica $\{F\} \cup (F \setminus A)$ de $F$ existe $K \in \omega$, tal que para todo $k \ge K$, temos: $$x_{n_{i_k}} \in \{F\} \cup (F \setminus A)$$ ou seja, $x_{n_{i_k}} \rightarrow F$.
Como$(x_{n_{i_k}})_{k \in \omega}$ é uma subsequência de $(x_n)_{n \in \omega}$, temos o resultado.