Topologia e conjuntos em exercícios

$i)$ Por vacuidade temos que $\emptyset \in \tau$. Agora tome $a \in \mathbb{Z}$ e observe que $\forall z \in \mathbb{Z}$ e $\forall b \in \mathbb{N}$, $a + bz \in \mathbb{Z}$. Portanto $\mathbb{Z} \in \tau$.

$ii)$ Sejam $A_1, A_2 \in \tau$. O caso em que $A_1 \cap A_2 = \emptyset$ segue do item anterior. Suponha $A_1 \cap A_2 \neq \emptyset$ e tome $x \in A_1 \cap A_2$. Temos que existem $b_1, b_2 \in \mathbb{N}$ tais que $\forall z \in \mathbb{Z}$, $x + b_1z \in A_1$ e $x + b_2z \in A_2$. Tome $b = mmc(b_1, b_2)$. Note que $x + bz \in A_1, A_2 \forall z \in \mathbb{Z}$. Portanto $A_1 \cap A_2 \in \tau$.

$iii)$ Sejam $\mathcal{A} \subset \tau$ e $x \in \bigcup_{A \in \mathcal{A}}A$. Então existe $b \in \mathbb{N}_{>0}$ tal que $\{x + bz: z \in \mathbb{Z}\} \subset A$ para algum $A \in \mathcal{A}$. Logo $\{x + bz: z \in \mathbb{Z}\} \subset \bigcup_{A \in \mathcal{A}}A$, o que nos da que $\bigcup_{A \in \mathcal{A}}A \in \tau$.

Com isso concluímos que $\tau$ é de fato uma topologia.