Topologia e conjuntos em exercícios

$(X, \tau)$ espaço topológico.

Seja $Y \subset X$, considere a topologia de subespaço $\tau ' = \{ Y \cap A : A \in \tau \} $. Sejam $a,b \in Y \subset X$. Então existe $A \in \tau$ tal que $a \in A$ e $b \notin A$ ou $a \notin A$ e $b \in A$. Note que $ B = Y \cap A \in \tau '$, ou seja, $a \in B$ e $b \notin B$ ou $a \notin B$ e $b \in B$, portanto $(Y, \tau ')$ é $T_0$.