Topologia e conjuntos em exercícios

Seja \(\sigma\) uma estratégia vencedora para o jogador I com \(\sigma(()) = U_0\). Então existe \(\sigma'\) vencedora que só dá abertos básicos.

Construímos da seguinte forma: Na primeira rodada, \(\sigma'\) escolhe um aberto básico \(A_0 \times B_0 \subset U_0\). O jogador II, então, escolhe um aberto \(V_0 \subset A_0 \times B_0\). Na segunda rodada, definimos \(\sigma'(V_0) = A_1 \times B_1\) tal que \(A_1 \times B_1 \subset \sigma (V_0) = U_1\), e assim por diante. Como \(\sigma\) é vencedora, \(\bigcap\limits_{i \in \omega}U_i = \emptyset \implies \bigcap\limits_{i \in \omega}A_i \times B_i = \emptyset\), logo \(\sigma'\) também será vencedora.