Topologia e conjuntos em exercícios

Essa é uma revisão anterior do documento!

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Suponhamos que $x_n \longrightarrow x$ e $x_n \longrightarrow y$, então existem $n_0,n_1 \in \mathbb{N} $ tais que $n \geq n_0 \Rightarrow x_n \in A$ e $n \geq n_1 \Rightarrow x_n \in B$. Tome $n \geq \max \{n_0, n_1 \} $, então $x_n \in A $ e $x_n \in B$. Absurdo, pois $A \cap B = \emptyset$.

Observe que se $X$ é um espaço de Hausdorff para cada $x,y \in X$ existem $A,B \subset X$ abertos disjuntos tais que $x \in A$ e $y \in B$, portanto, pelo argumento apresentado acima, uma sequência num espaço de Haursdorff converge, no máximo, para um ponto.