Topologia e conjuntos em exercícios

Para os reais, podemos reescrever a definição de sequência convergente da seguinte maneira: “A sequência $( x_n )$ converge para $y$ se, $(\forall B_{\epsilon}(y) ) (\exists n_0 \in \mathbb{N} ) $ tal que $x_n \in B_{\epsilon}(y)$ se n $\geq n_0$”

De maneira mais clara, $x_n$ converge para $y$ se, $\forall \varepsilon > 0$ existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $ | x_n - y| < \epsilon$, $\forall n > n_0$.

Note que $n+1 > n$, consequentemente $ \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} $, da propriedade de Arquimedes* para números reais, temos que existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{n_0} < \epsilon$ para todo $\epsilon > 0$, então $| \frac{1}{n+1} | < \epsilon$ se $n > n_0$.

* Propriedade de arquimedes : https://pt.wikibooks.org/wiki/An%C3%A1lise_real/Os_n%C3%BAmeros_reais#Propriedade_de_Arquimedes