Topologia e conjuntos em exercícios

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Seja $(X,\tau)$ um espaço separável, e seja $D$ um denso enumerável de $X$. Suponha que $(X,\tau)$ não é $c.c.c$. Seja $\mathcal {A}$ uma família de abertos dois a dois disjuntos e não enumerável. Seja $d_A \in D\cap A$. Note que $d_A \notin A', \forall A' \in \mathcal {A}, A' \neq A$. Como $\mathcal {A}$ é não enumerável, segue que existem não enumeráveis elementos de $\mathcal {A}$ em $D$, o que é um absurdo, pois $D$ é enumerável. Portanto $(X,\tau)$ é $c.c.c$.