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Sabemos que, fixando uma coordenada de um dos eixos e variando as demais, obtemos um plano. Portanto se a coordenada fixada pertencer a $\mathbb R \setminus \mathbb Q$, segue que o plano definido é tal que todo ponto nele contido pertence a $\mathbb R^3 \setminus \mathbb Q^3$ (portanto toda reta também), e como $|\mathbb R \setminus \mathbb Q| = \mathfrak c$, segue que existem $\mathfrak c$ planos dessa forma.
Seja $\mathcal{F}$, $|\mathcal{F}| < \mathfrak c$, uma família de retas disjuntas em $\mathbb R^3 \setminus \mathbb Q^3$. Vamos mostrar que, para todo $p \in \mathbb R^3 \setminus \mathbb Q^3$, existe uma reta disjunta de todo elemento de $\mathcal{F}$ que o contém.
Se $p \in \mathcal{F}$, não resta nada a fazer. Se $p \notin \mathcal{F}$, então aplique o seguinte processo:
Temos que 2 retas ocupam no máximo um plano simultaneamente. Como $|\mathcal{F}| < \mathfrak c$, segue que existe um plano $\pi$, $\pi \subset \mathbb R^3 \setminus \mathbb Q^3$, contendo $p$ tal que $r \not \subset \pi$, para toda reta $r$ de $\mathcal{F}$. Cada reta de $\mathcal{F}$ intersecta $\pi$ em, no máximo, $|\mathcal{F}|$ pontos, e como existem $\mathfrak c$ retas em $\pi$ passando por $p$, segue que existe uma reta que contém $p$ e é disjunta de todas as retas de $\mathcal{F}$. Adicione essa reta a $\mathcal {F}$.
Dessa forma obtemos que, para todo ponto de $\mathbb R^3 \setminus \mathbb Q^3$, existe uma reta disjunta de todo elemento de $\mathcal{F}$ que o contém.
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