Topologia e conjuntos em exercícios

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Sejam $X$ conjunto enumerável e $\mathcal A = \{A_n : n \in \omega\}$ uma família quase disjunta de subconjuntos de $X$. Mostremos que ela não é maximal.

Note que para qualquer $n \in \omega$, $\bigcup_{i \leq n}{A_i} \neq X$, pois caso contrário $A_{n+1} \cap \left(\bigcup_{i \leq n}{A_i}\right) = A_{n+1}$ e portanto $A_{n+1} \cap A_{m}$ será infinita para algum $m \leq n$.

Considere então $B = \{b_n : n \in \omega\} \subset X$ tal que $b_n \notin \bigcup_{i \leq n}{A_i}$ para cada $n$. Note que $B \neq A_n$ para todo $n$. Mais ainda, $B \cap A_n \subset \{b_i : i \leq n-1\}$. Assim $\mathcal A \cup \{B\}$ é família quase disjunta contendo $\mathcal A$.