Topologia e conjuntos em exercícios

Queremos mostrar que $\psi(\mathcal{F})$ é separável. Note que, é suficiente mostrarmos que $\overline{\omega} = \psi(\mathcal{F})$.
Seja $V$ aberto básico, tal que $ V \neq \emptyset$, $V \subset \psi( \mathcal{F})$, vamos provar que $V \cap \omega \neq \emptyset$. Temos dois casos para analisar:

• Se $V = \{n\}$, então $V \cap \omega = V \neq \emptyset$.
• Se $V = \{F\} \cup (F \setminus A)$, onde $A$ é finito e $F \in \mathcal F$, temos: $V \cap \omega = [\{F\} \cup (F \setminus A)] \cap \omega = [\{F\} \cap \omega] \cup [(F \setminus A) \cap \omega] = \emptyset \cup [(F \setminus A) \cap \omega] = [(F \setminus A) \cap \omega] \neq \emptyset$.Temos que $[(F \setminus A) \cap \omega] \neq \emptyset$ pois $F$ é infinito e $A$ é finito.

Portanto $\omega$ é denso em $\psi( \mathcal{F})$.