Topologia e conjuntos em exercícios

Queremos mostrar que $\psi(\mathcal{F})$ é Hausdorff. Sejam $x,y \in \psi( \mathcal{F})$, com $x \neq y$. Vamos analisar os seguintes casos:

• Se $x,y \in \omega$, basta tomar $A = \{x\}$ e $B = \{y\}$.
• Se $x \in \omega$ e $y \in \mathcal{F}$. Aqui temos dois casos a serem analisados. Se $x \in y$, tome $A = \{x\}$ e $B = \{y\} \cup (y \setminus \{x\})$. No caso em que $x \notin y$, tome $A = \{x\}$ e $B = \{y\} \cup y$.
• Se $x, y \in \mathcal{F}$, como $\mathcal{F}$ é localmente finita, $x \cap y$ é finito. Defina $A = \{x\} \cup (x \setminus (x \cap y)){}$ e $B = \{y\} \cup (y \setminus (x \cap y))$.

Portanto, $\psi(\mathcal{F})$ é Hausdorff.