Topologia e conjuntos em exercícios

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Suponha que não.
Então, existe $D \subset X$ discreto fechado e infinito.
Defina $f : D \rightarrow \mathbb{R}$, como sendo $f(d_k) = k$, para todo $d_k \in D$.
Note que, estamos sob as hipóteses do Teorema da Extensão de Tietze, pois $X$ é normal e $f$ é uma função contínua, definida num subconjunto fechado de $X$.
Portanto, existe $g : X \rightarrow \mathbb{R}$, extensão contínua de $f$.
Note $g [X]$ é ilimitado, logo $X$ não é pseudocompacto, contradição.