Topologia e conjuntos em exercícios

Sejam $x, y \in \prod_{i\in I}X_i$ distintos. Isso significa que ao menos uma de suas coordenadas são distintas. Sejam $x_k, y_k \in X_k$ essas coordenadas.
Sabemos que $X_k$ é um espaço de Hausdorff, portanto existem abertos $A_k, B_k \subset X_k$ tais que $x_k \in A_k$, $y_k \in B_k$ e $A_k \cap B_k = \emptyset$.
Podemos então construir os abertos $A = \prod_{i\in I} V_i$, onde $V_k = A_k$ e $V_i = X_i$ para $i \neq k$ e $B = \prod_{i\in I} V_i$ onde $V_k = B_k$ e $V_i = X_i$ para $i \neq k$, com $x \in A$, $y \in B$ e $A \cap B = \emptyset$, portanto $\prod_{i\in I}X_i$ é de Hausdorff.