Topologia e conjuntos em exercícios

Essa é uma revisão anterior do documento!

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Ida:
Dado $x \in X$, vamos mostrar que $X \backslash \{x\}$ é aberto:
Tomando $y \in X \backslash \{x\}$ e sabendo que $X$ é $T_1$ temos que existe $A_y$ aberto em $X$ tal que $y \in A_y$ e $x \notin A_y$. Portanto, temos $A_y \subset X \backslash \{x\}$, e como $y$ é arbitrário, segue que $\bigcup_{y\in X \backslash \{x\}} A_y = X \backslash \{x\}$. Assim, $X \backslash \{x\}$ é aberto, pois é reunião de abertos, e portanto $\{x\}$ é fechado. Volta:
Dado $x \in X$ temos que $\{x\}$ é fechado, logo, $X \backslash \{x\}$ é aberto e para todo $y \in X$ temos que $y \in X \backslash \{x\}$ e $x \notin X \backslash \{x\}$, logo, $X$ é $T_1$.