Topologia e conjuntos em exercícios

Ida:
Tome $x \in X$. Vamos mostrar que $X \smallsetminus \{x\}$ é aberto:
Seja $y \in X$ com $y \neq x$. Como $X$ é $T_1$ então existe $A_y$ aberto em $X$ tal que $y \in A_y$ e $x \notin A_y$. Logo, temos que $A_y \subset X \smallsetminus \{x\}$. Como $y$ é arbitrário, segue que $\bigcup_{y \in X} A_y = X \smallsetminus \{x\}$. Logo, $X \smallsetminus \{x\}$ é aberto, pois é união de abertos.
Volta:
Dados $x, y \in X$ distintos e sabendo que $\{x\}$ é fechado temos que $X \smallsetminus \{x\}$ é aberto. Note então que $y \in X \smallsetminus \{x\}$ e que $x \notin X \smallsetminus \{x\}$, ou seja, conseguimos um aberto tal que $y$ está nesse aberto e $x$ não, logo, $X$ é $T_1$.