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Para mostrar que $\beta \subset \gamma$, devemos mostrar que, dado $\theta \in \beta$, $\theta \in \gamma$.
Temos que $\beta \subset \alpha$, logo, $\theta \in \alpha$. Temos também que $\gamma \in \alpha$ \ $\beta$, ou seja, $\gamma \in \alpha$ e $\gamma \notin \beta$.
Como $\alpha$ é bem ordenado por $\in$, temos que quaisquer dois elementos de $\alpha$ são comparáveis, já que $\in$ é uma boa ordem e, consequentemente, uma ordem total. $\theta,\gamma \in \alpha$, logo, são comparáveis. Então $\gamma \in \theta$, $\theta = \gamma$, ou $\theta \in \gamma$.
Se $\gamma \in \theta$ : como $\beta$ é ordinal, e consequentemente transitivo, então, se $\gamma \in \theta$ e $\theta \in \beta$, $\gamma \in \beta$, o que contraria a hipótese de que $\gamma \notin \beta$. Logo, é um absurdo.
Se $\theta = \gamma$, como $\theta \in \beta$, $\gamma \in \beta$, o que é um absurdo.
Portanto, temos que $\theta \in \gamma$, $\blacksquare$.
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