Topologia e conjuntos em exercícios

Para mostrarmos que $\alpha$ é um ordinal, devemos mostrar primeiro que $\alpha$ é transitivo. Para mostrar que $\alpha$ é transitivo,devemos mostrar que dado $\beta \in \alpha$, $\beta \subset \alpha$. Para fazer isso, devemos mostrar que dado $\gamma \in \beta$, $\gamma \in \alpha$. Como $\beta \in \alpha$ e $\alpha \subset X$, $\beta \in X$. Como X é transitivo, $\beta \subset X$. Logo, como $\gamma \in \beta$, $\gamma \in X$. $\in$ é uma ordem sobre $X$, e $\alpha,\beta,\gamma \in X$, Logo, como $\gamma \in \beta$ e $\beta \in \alpha$, temos que $\gamma \in \alpha$.Portanto, $\alpha$ é transitivo. Agora vamos mostrar que $\alpha$ é bem ordenado. Como X é bem ordenado, temos que todos os seus subconjuntos admitem mínimo. Como $\alpha \subset X$, $\alpha$ e todos os seus subconjuntos são subconjuntos de X e, portanto, admitem mínimo. Logo, $\alpha$ é bem ordenado. Como $\alpha$ é transitivo e bem ordenado, é ordinal, $\blacksquare$.