Topologia e conjuntos em exercícios

Temos que, para todo $n\in\omega$, existem $a,k\in\omega$ tais que $n=2^ak$, onde $2$ não divide $k$. Ou seja, podemos escrever todo natural como associação de um $a$ e um $k$, também naturais. Para que $\omega\times\omega$ seja enumerável é necessário que exista uma $f:\omega\longrightarrow\omega\times\omega$ sobrejetora. Numa $f$ sobrejetora teremos: $$\forall(a,k)\in\omega\times\omega, \, \exists \, n\in\omega: n=f(a,k)$$ Assim, basta tomar $f(2^ak) = (a, k)$ para mostrarmos uma sobrejeção de $\omega$ em $\omega\times\omega$.