Topologia e conjuntos em exercícios

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Seja $(X,\tau)$ um espaço regular. Por ser regular, é $T_1$ (então basta mostrar que é $T_3$). Por ser $T_1$, temos que $\{x\}$ é fechado para todo $x \in X$. Assim, dado um $x \in X$ e um $F \subset X$ fechado tal que $F \cap \{x\} = \emptyset$, temos que existem $A$ e $B$ abertos disjuntos tal que $\{x\} \subset A$ e $F \subset B$. Mas $\{x\} \subset A \Leftrightarrow x \in A$.