Topologia e conjuntos em exercícios

Suponha que $A$ seja compacto e fixe $x \in A$. A família de abertos $\mathcal{Q} = \{ B_{n}(x)| n \in \mathbb{N} \}$ é uma cobertura de $A$, pois como $X$ é métrico, cada $y \in A$ está à uma distância finita de $x$. Basta então, para cada $y \in A$ tomar $n \in \mathbb{N}$ como sendo o menor natural maior do que $d(x,y)$. Como $A$ é compacto, existe $\mathcal{Q}'= \{ B_{n_1}(x),\ldots, B_{n_j}(x) \} \subset \mathcal{Q}$ subcobertura finita de $A$. Todos os abertos $B_n(x)$ estão centrados em $x$. Tomando $k = \max \{n_i\}$ com $i \in \{ 1,\ldots, j \} \subset \mathbb N$, temos que $A \subset \ B_{k}(x)$, ou seja, $A$ é limitado. Contradição.