Topologia e conjuntos em exercícios

Vamos mostrar que se $X$ não é de Lindelöf, então $X$ não é de Menger. Isto é, I tem uma estratégia vencedora. Como $X$ não é de Lindelöf, existe $\mathcal C$ cobertura aberta sem subcobertura enumerável. Considere a estratégia para I de forma que, a cada rodada $n$, I sempre joga $\mathcal C$. Seja $A = \{C_n: n \in \omega\}$ onde cada $C_n$ é a resposta de II numa partida em que I jogou seguindo esta estratégia. Note que $\bigcup_{n \in \omega} C_n \subset \mathcal C$ e é enumerável (união enumerável de finitos). Logo, $\bigcup_{n \in \omega} C_n \neq X$ e, portanto, I vence. Logo, tal estratégia é vencedora.