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Seja $\sigma$ uma estratégia para o jogador II. Mostraremos que se $X\neq \bigcup_{s\in ^{<\omega}\omega}G_s$, então o jogador I possui uma estratégia que vence de $\sigma$.
Suponha que exista um $x\in X$ tal que $x\not\in \bigcup_{s\in ^{<\omega}\omega}G_s$. Ent\~ao, para todo $s=\{s_0,\dots, s_m\}\in ^{<\omega}\omega$ existe uma cobertura $\mathcal{U}_s$ tal que $x\not\in \overline{\bigcup{\sigma((\mathcal{U}_{s_0},\dots,\mathcal{U}_{s_m})^{\smallfrown}\mathcal{U}_{s})}}$.
Deste modo, partindo de $s=\emptyset$, o jogador 1 consegue sempre encontrar uma cobertura tal que nenhum dos abertos da estrat\'egia $\sigma$ cont\'em $x$. Portanto $\sigma$ não é vencedora.
Segue da enumerabilidade de $^{<\omega}\omega$ que se $\sigma$ \'e vencedora, ent\~ao $X$ \'e $\sigma$-compacto.
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