Topologia e conjuntos em exercícios

$\Rightarrow$) Se $\{x\}$ é aberto, então por definição existem $a$, $b$ tais que $\{x\}$ = $\{y \in X: a < y \text{ e } y < b\}$. Note que $a$ = $max$$\{y \in X: y < x\}$ e $b$ = $min$$\{y \in X: x < y\}$.

$\Leftarrow$) Seja $\alpha = \max\{y \in X: y < x\}$ e $\beta = \min\{y \in X: x < y\}$. Por definição $]\alpha, \beta[ = \{x \in X: \alpha < x \text{ e } x < \beta\}$ é um aberto. Como o único elemento que pertence a tal conjunto é o próprio $x$, então $\{x\}$ é aberto.