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Seja \(\zeta(x)\) a propriedade \(\forall a,b \in x, \, \, a\cap b = \emptyset\) (x é formado por conjuntos dois a dois disjuntos).
Dado \(\mathcal A\) uma família de abertos de \(\tau\) dois a dois disjuntos, definimos \(\mathbb{A} = \{x \in \wp(\tau): \mathcal A \subset x \land \zeta(x)\}\). Note que \(\mathbb{A}\) é parcialmente ordenado pela inclusão e dado um \(\mathbb{A}' \subset \mathbb{A}\) totalmente ordenado, \(\mathcal A'_u = \bigcup \mathbb{A}'\) é uma cota superior de \(\mathbb{A}'\) pois \(\mathcal A'_u \in \mathbb{A}\) já que \(U_1, U_2 \in \mathcal A'_u\) são tais que \(U_1, U_2 \in \mathcal A_n\) para algum \(A_n \in \mathbb{A}\) e então são dois a dois disjuntos. Pelo Lema de Zorn, então, \(\mathbb{A}\) tem elemento maximal \(\mathcal A_{max}\).
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